Przegląd najważniejszych metod ograniczania zawartości wyższych harmonicznych

Źródłem wyższych harmonicznych w indukowanych napięciach w uzwojeniach maszyn elektrycznych prądu przemiennego są:

• wyższe harmoniczne czasowe pochodzące od niesinusoidalnego lub niesymetrycznego sposobu zasilania dyskretnie rozłożonych uzwojeń, przesunięcia osi wirnika względem osi stojana, eliptyczności wirnika lub stojana, nasycenia obwodu magnetycznego oraz nieliniowości momentów występujących na wale [1–4],
• wyższe harmoniczne przestrzenne pochodzące od niesymetrii i nieliniowości obwodu magnetycznego na stojanie i wirniku, dyskretnie rozłożonych uzwojeń, przesunięcia osi wirnika względem osi stojana, eliptyczności wirnika lub stojana [5–9].

W przypadku wyższych harmonicznych czasowych ich źródło pochodzenia najczęściej leży poza uzwojeniami twornika [3, 4]. Przykładem takiego źródła powodującym odkształcanie napięć i prądów w uzwojeniach stojana i wirnika jest włączenie generatora synchronicznego do sieci zasilającej o napięciu odkształconym i niesymetrycznym [3, 4]. Ograniczenie zawartości wyższych harmonicznych czasowych zarówno w napięciach, jak i w prądach pasmowych uzwojeń stojana można uzyskać poprzez dążenie do utrzymywania napięcia zasilania sieci zbliżonego do sinusoidalnego [3]. Wpływ niesymetrii i odkształcenia napięcia zasilania na zawartość wyższych harmonicznych w prądach uzwojeń twornika i w uzwojeniu wzbudzenia, jak również zagadnienia dotyczące wpływu nieliniowości występujących momentów na wale maszyn elektrycznych będących źródłem wyższych harmonicznych czasowych napięć i prądów były przedmiotem licznych prac i publikacji i dlatego nie będą rozpatrywane w niniejszym artykule [1–4]. 

W artykule zasadnicza uwaga zostanie skupiona na przeglądzie metod ograniczaniu zawartości wyższych harmonicznych przestrzennych spowodowanych dyskretnym rozkładem uzwojeń twornika maszyn prądu przemiennego najczęściej stosowanych tj. jednowarstwowego, dwuwarstwowego i trójkątnego [5, 10, 11]. Ponieważ uzwojenia twornika układane są w żłobkach (poprzez rozwarcie żłobka), dlatego szczelina powietrzna, jej permeancja i indukcja pola magnetycznego na obwodzie szczeliny powietrznej jest nierównomierna, a w miejscu rozwarcia żłobka występują zapady indukcji [7]. Zatem strumień magnetyczny przechodząc ze stojana do wirnika i z wirnika do stojana ulega odkształceniu. Na rysunku 1. przedstawiono rozkład składowej normalnej indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej generatora synchronicznego jawnobiegunowego dla wirnika bez skosu i ze skosem wirnika, w którym rozwarcie żłobków wstępuje tylko po stronie stojana.

Problem odkształcania się indukowanego napięcia w generatorach synchronicznych został szeroko opisany już wiele lat temu [12]. Zaproponowane w tej pracy [12] metody ograniczania zawartości wyższych harmonicznych w indukowanych napięciach (poprzez zastosowanie skosu wirnika lub stojana, odpowiedniego rozłożenia uzwojenia czyli skrótu i grupy oraz połączenia uzwojeń Y‑D‑Z) dla różnych konstrukcji maszyn elektrycznych prądu przemiennego są nadal stosowane, uległy jedynie pewnej modyfikacji [5–7].

Napięcia indukowane w uzwojeniach maszyn elektrycznych prądu przemiennego zawierają oprócz składowej podstawowej E1 również harmoniczne wyższych rzędów Ev, których wartość względną można określić znaną zależnością [10–12]:

gdzie:

k_wv = k_dv k_pv k_bv k_qv – jest współczynnikiem uzwojenia dla n-tej harmonicznej,

k_dv – współczynnik grupy n-tej harmonicznej,

k_pv – współczynnik skrótu n-tej harmonicznej,

k_bv – współczynnik rozwarcia żłobkowego n-tej harmonicznej,

k_qv – współczynnik skosu n-tej harmonicznej,

B₁, B_v – indukcja pola składowej podstawowej oraz n-tej harmonicznej.

Z zależności (1) wynika, że ograniczenie udziału wyższych harmonicznych w indukowanym napięciu można osiągnąć przez nadanie w szczelinie powietrznej właściwego kształtu krzywej indukcji pola magnetycznego oraz poprzez dobór odpowiednio rozłożonego uzwojenia na stojanie lub wirniku [6, 10–12]. Jedną z podstawowych przyczyn występowania wyższych harmonicznych przestrzennych w składowej indukcji normalnej B_v w szczelinie powietrznej generatora synchronicznego jest dyskretny sposób rozłożenia uzwojeń pasmowych stojana, wzbudzenia i obwodów klatki tłumiącej i wytworzone przez te uzwojenia przepływy, które zawierają składową podstawową oraz wyższe harmoniczne. Uproszczony dyskretny rozkład przepływu na obwodzie stojana od jednowarstwowego trójpasmowego uzwojenia rozłożonego w Q_s = 24 żłobkach stojana wraz z wypadkową Q₁ składową podstawową przedstawia rysunek 2. Na rysunku 2. zaznaczono schodkowy rozkład przepływu od dyskretnie rozłożonego uzwojenia pasm a, b i c. W przypadku symetrycznych uzwojeń rozkłady przepływu Q_av, Q_bv, Q_cv dla pasm b i c są takie same jak Q_a (dla pasma a), lecz są przesunięte odpowiednio o kąt elektryczny 120° i 240°. Wypadkowy przepływ będzie sumą trzech odkształconych przepływów pochodzących od dyskretnie rozłożonych uzwojeń pasmowych twornika. Na rysunku 1. widoczne są składowe podstawowe Q_a1, Q_b1, Q_c1 oraz składowa podstawowa sumarycznego przepływu Q₁.

W stojanie maszyn synchronicznych i asynchronicznych najczęściej stosuje się uzwojenia: jednowarstwowe i dwuwarstwowe. Możliwe są również inne rodzaje uzwojeń pasmowych cechujące się niską zawartością wyższych harmonicznych, np. uzwojenie trójkątne [11] lub nowe rozwiązanie – uzwojenie trójkątne zmodyfikowane [11]. Zaletą opisanego uzwojenia trójkątnego zmodyfikowanego w odniesieniu do innych konstrukcji uzwojeń jest to, że działanie ograniczające zawartość wyższych harmonicznych przestrzennych w indukowanych napięciach jest szczególnie widoczne już dla q_s = 2, gdzie q_s jest liczbą żłobków na biegun i fazę [11].

W zależności od dyskretnego sposobu rozłożenia uzwojenia w żłobkach stojana (uzwojenie jednowarstwowe, dwuwarstwowe lub trójkątne), zastosowanego skrótu lub innej modyfikacji (np. różną liczbę zwojów w każdym żłobku – uzwojenie trójkątne zmodyfikowane [11]), od wprowadzonego skosu (stojana lub wirnika) i od szerokości rozwarcia żłobka, w zależności od liczby żłobków na biegun i fazę można uzyskać w indukowanych napięciach różną zawartość wyższych harmonicznych. Występowanie harmonicznej dla danego uzwojenia oblicza się najczęściej przy pomocy wypadkowego współczynnika uzwojenia k_wv = k_dv k_pv k_bv k_qv, którego wartości dla n-tej harmonicznej określa się najczęściej poprzez współczynniki: grupy, skrótu, rozwarcia oraz skosu żłobków [5–7, 10–12]. 

Współczynniki uzwojenia

Wspomniane działania ograniczające na n-tą harmoniczną przestrzenną dla dyskretnego rozłożenia uzwojenia realizowane poprzez zastosowanie: skrótu, odpowiedniej grupy, rozwarcia oraz skosu żłobków określa się za pomocą współczynników [5–7, 10–12], których znaczenie zostanie przedstawione poniżej. Współczynnik skrótu k_pv dla v-tej harmonicznej określony jest następującym wyrażeniem [5, 11]:

gdzie:

y₁ – względna rozpiętość zezwoju,

τ – podziałka biegunowa.

Z zależności (2) wynika, że dobierając względną rozpiętość zezwoju tak aby y₁/t = (v-1)/v można całkowicie wyeliminować v-tą harmoniczną przestrzenną. W tym przypadku współczynnik skrótu określa się jako k_pv = sin[(v-1)p/2]. Natomiast przy y₁/t = 1 jak to ma miejsce w przypadku stosowania uzwojenia jednowarstwowego udział wszystkich harmonicznych przestrzennych (tzw. żłobkowych) w odniesieniu do składowej podstawowej jest największy.

Współczynnik grupy kdv dla uzwojenia trójpasmowego (m_s = 3) dla v-tej harmonicznej określony jest wyrażeniem [5, 10, 11]:

gdzie:

q_s – liczba żłobków na biegun i pasmo.

Z zależności (3) wynika, że współczynnik grupy k_dv określa wpływ liczby żłobków q_s na wartość v-tej harmonicznej przestrzennej przypadających na biegun i pasmo.

Na rysunku 3. przedstawiono wartości współczynnika grupy dla n-tej harmonicznej przestrzennej dla p_b = 1 oraz liczby q_s = {1, 2, 3 i 4}.

Z rysunku 3. wynika, że dla każdego uzwojenia trójfazowego w zależności od liczby żłobków q_s > 1 wartości współczynnika grupy k_dv dla pewnych v-tych harmonicznych (tzw. harmonicznych żłobkowych) określonych jako v = (kQ_s/p_b±1) będą przybierały taką samą wartość jak dla składowej podstawowej, gdzie k jest liczbą całkowitą. I tak, przykładowo

• dla q_s = 2 (liczba żłobków stojana Q_s = 12) będą to harmoniczne v = 11 i 13, 23 i 25 itd.,
• dla q_s = 3 (Q_s = 18) będą to harmoniczne v = 17 i 19, 35 i 37 itd.,
• dla q_s = 4 (Q_s = 24) będą to harmoniczne v = 23 i 25, 47 i 49 itd.

Dla q_s = 1 (Q_s = 6) współczynnik grupy k_dv dla każdej v-tej harmonicznej ma taką samą wartość jak współczynnik grupy dla składowej podstawowej.

Na rysunku 4. przedstawiono porównanie wartości współczynników uzwojenia k_wv dla harmonicznej przestrzennej będących iloczynem k_dv k_pv (współczynnika grupy oraz współczynnika skrótu), które obliczono dla:

• uzwojenia trójkątnego (oznaczenie k_wdp3),
  
• uzwojenia dwuwarstwowego i często stosowanego skrótu uzwojenia y₁ równego 5/6 (oznaczenie k_wdp56) oraz rzadko 2/3 (oznaczenie k_wdp23),
• uzwojenia jednowarstwowego (czyli bez skrótu, oznaczenie k_wdp1), tzn. takie, jakie często występuje np. w generatorach synchronicznych jawnobiegunowych małej mocy stosowanych w zespołach prądotwórczych.

W dalszych obliczeniach przyjęto liczbę żłobków na biegun i fazę q_s = 4 oraz liczbę pasm m_s = 3 (Qs = 24). Wpływ skrótu i grupy, rozwarcia żłobkowego oraz skosu na ograniczenie zawartości wyższych harmonicznych zostanie przedstawiony na kolejnych rysunkach. Przy czym w pierwszym rozważaniu współczynniki rozwarcia żłobkowego k_bv oraz współczynnik skosu żłobków k_qv dla n-tej harmonicznej przyjęto równe jeden. W drugim podejściu do współczynnika uzwojeń wprowadzono współczynnik rozwarcia żłobkowego k_bv (przy k_qv = 1), natomiast w trzecim uwzględniono również współczynnik skosu żłobków k_qv dla n-tej harmonicznej.

Z porównania zawartości wyższych harmonicznych przedstawionych na rysunku 4. wynika, że przy nieuwzględnianiu skosu wirnika (lub stojana) oraz rozwarcia żłobkowego całkowita zawartość wyższych harmonicznych wprowadzana poprzez przedstawione rodzaje uzwojeń odniesiona do wartości ich składowej podstawowej (liczona do 90. harmonicznej) wynosi dla uzwojenia:

• jednowarstwowego ­THDk_wdp1  = 240,19%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia 2/3 THDk_wdp23 = 177,07%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia 5/6 THDk_wdp56 = 204,39%,
• trójkątnego THDk_wdp3 = 193,09%.

Wynikiem zmian nierównomierności szczeliny powietrznej na obwodzie pomiędzy stojanem i wirnikiem jest występowanie w indukcyjnościach własnych i wzajemnych stojana i wzbudzenia wyższych harmonicznych przestrzennych [8, 9]. W miarę wzrostu rzędu harmonicznych oraz w zależności od kąta rozwarcia żłobka występowanie wyższych harmonicznych przestrzennych będzie ograniczane. Ograniczenie to dla v-tej harmonicznej określa się współczynnikiem rozwarcia żłobkowego k_bv [5, 8–11]:

gdzie:

a – kąt rozwarcia żłobka,

p_b – liczba par biegunów.

Współczynnik rozwarcia żłobkowego n-tej harmonicznej przestrzennej dla p_b = 1 wynosi:

Przykładowe wartości współczynnika rozwarcia żłobkowego w zależności od n-tej harmonicznej przestrzennej dla p_b = 1, rozwarcia żłobka b_s = 3 mm przy średnicy wewnętrznej stojana d_s = 107 mm (dane dla generatora synchronicznego o mocy 5,5 kVA) przedstawia rysunek 5. [8].

Na rysunku 6. przedstawiono porównanie wartości współczynników uzwojenia k_wv dla harmonicznej przestrzennej będących iloczynem k_dv k_pv k_bv (współczynnika grupy, współczynnika skrótu i współczynnika rozwarcia żłobkowego), które obliczono dla:

§ uzwojenia jednowarstwowego, czyli takiego, jakie najczęściej występuje w generatorach synchronicznych o mocy od kilku do kilkunastu kVA (oznaczenie k_wdpb1),

• uzwojenia dwuwarstwowego i różnych wartości zastosowanego skrótu uzwojenia y₁ = 2/3 (oznaczenie k_wdpb23) i y₁ = 5/6 (oznaczenie k_wdpb56),
• uzwojenia trójkątnego (oznaczenie k_wdpb3).

Obliczenia przeprowadzono dla przypadku jak na rysunku 4. oraz q_s = 4, m_s = 3, szerokości rozwarcia żłobka b_s = 3 mm oraz średnicy wewnętrznej stojana d_s = 107 mm. W obliczeniach przedstawionych na rysunku 6. przyjęto współczynnik skosu żłobkowego k_qv = 1 (tzn. brak skosu).

Z porównania zawartości wyższych harmonicznych przedstawionych na rysunku 6. wynika, że przy uwzględnieniu skrótu, grupy oraz rozwarcia żłobkowego oraz przy pominięciu skosu wirnika (lub stojana) przedstawiona całkowita zawartość wyższych harmonicznych wprowadzana poprzez poszczególne dyskretne rozłożenie uzwojeń, odniesiona do wartości ich składowej podstawowej (liczona do 90. harmonicznej) wynosi odpowiednio, dla uzwojenia:

• jednowarstwowego THDk_wdp1 = 161,07%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia 2/3 THDk_wdp23 = 113,13%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia 5/6 THDk_wdp56 = 134,04%,
• trójkątnego THDk_wdp3 = 125,96%.

Harmoniczne przestrzenne są również ograniczane, jeśli dla maszyny prądu przemiennego wykona się skos wzdłuż długości stojana (skos stojana względem wirnika) lub wzdłuż długości wirnika (skos wirnika względem stojana). Najczęściej taki skos wykonuje się na wirniku o jedną podziałkę żłobkową stojana [5]. Wartość współczynnika skosu żłobkowego kqv w zależności od n-tej harmonicznej przestrzennej określony jest wyrażeniem [5, 10, 11]:

gdzie:

a_q – kąt skosu wirnika wzdłuż jego długości.

Na rysunku 7. przedstawiono wartości współczynnika skosu w zależności od n-tej harmonicznej przestrzennej dla p_b = 1 oraz dla elektrycznego kąta skosu a_q = 15° równego jednej podziałce żłobkowej stojana (dla Q_s = 24) [9].

Przedstawione dyskretne wartości współczynnika skosu dla p_b = 1 oraz kąta skosu α_q = 15° ulegają zerowaniu dla harmonicznych rzędu v = 12k (czyli 12., 24., 36., ...), gdzie k = 1, 2, 3 ...

Na rysunku 8. przedstawiono porównanie wartości współczynników uzwojenia k_wv dla harmonicznej przestrzennej, będących iloczynem k_dv·k_pv·k_bv·k_qv (współczynniki: grupy, skrótu, rozwarcia żłobkowego, skosu), które obliczono dla:

• uzwojenia jednowarstwowego (oznaczenie k_wdpbq1), czyli takie jakie występuje w badanej maszynie synchronicznej,
• uzwojenia dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia y₁ = 2/3 (oznaczenie k_wdpbq23) i y₁ = 5/6 (oznaczenie k_wdpbq56),
• uzwojenia trójkątnego (oznaczenie k_wdpbq3).

Obliczenia przeprowadzono dla przypadku q_s = 4, m_s = 3, b_s =3 mm, d_s = 107 mm oraz kąta skosu wirnika a_q = 15° (jedna podziałka żłobkowa stojana).

Z porównania zawartości wyższych harmonicznych przedstawionych na rysunku 8. wynika, że przy uwzględnieniu skosu wirnika (lub stojana) oraz rozwarcia żłobkowego przedstawiona całkowita zawartość wyższych harmonicznych wprowadzana poprzez poszczególne dyskretne rozłożenie uzwojeń odniesiona do wartości ich składowej podstawowej wynosi odpowiednio, dla uzwojenia:

•  jednowarstwowego THDk_wdp1 = 20,40%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia y₁ = 2/3 THDk_wdp23 = 2,04%,
• dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia y₁ = 5/6 THDk_wdp56 = 10,69%,
• trójkątnego THDk_wdp3 = 9,13%.

Na rysunku 9. przedstawiono porównanie wartości amplitud składowej podstawowej napięcia w zależności od uwzględnienia współczynników grupy i skrótu (indeks dp), rozwarcia żłobkowego (indeks b) oraz skosu (indeks q) dla:

• uzwojenia jednowarstwowego k_wdp1, k_wdpb1, k_wdpbq1,
• uzwojenia dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia y₁ = 2/3 k_wdp23, k_wdpb23, k_wdpbq23,
• uzwojenia dwuwarstwowego i skrótu uzwojenia y₁ = 5/6 k_wdp56, k_wdpb56, k_wdpbq56,
• uzwojenia trójkątnego k_wdp3, k_wdpb3, k_wdpbq3.

Badanie eksperymentalne

Na rysunku 10. przedstawiono zarejestrowane przebiegi prądu i napięcia wzbudzenia oraz indukowanych napięć fazowych dla dwóch trójfazowych generatorów synchronicznych jawnobiegunowych bez skosu wirnika o mocy 10 kVA i ze skosem wirnika o mocy 5,5 kVA. W stojanie badanych generatorów o liczbie żłobków Q_s = 24 i p_b = 1 ułożone jest trójpasmowe uzwojenie jednowarstwowe. Podczas wykonywania badań eksperymentalnych generatory pracowały na biegu jałowym, przy czym składowa podstawowa indukowanych napięć fazowych w obu przypadkach wynosiła 230 V. Rejestracji przebiegów dokonano przy użyciu czterokanałowego oscyloskopu cyfrowego MSO3014.

Przedstawione na rysunku 10. zarejestrowane przebiegi oznaczono:

• kolorem zielonym napięcie fazowe pasma a,
• kolorem fioletowym napięcie fazowe pasma c,
• kolorem granatowym prąd wzbudzenia,
• kolorem jasnoniebieskim napięcie wzbudzenia.

Przedstawione na rysunku 10. przebiegi indukowanych napięć fazowych poddano analizie Fouriera. Na rysunku 11. przedstawiono zawartość wyższych harmonicznych (w odniesieniu do składowej podstawowej).

Z porównania zawartości wyższych harmonicznych w indukowanych napięciach przedstawionych na rysunku 10. wynika, że obliczona wartość THDu dla generatorów synchronicznych jawnobiegunowych wynosi:

• bez skosu wirnika 10,21%,
• ze skosem wirnika 5,24%.

Znaczny udział 3. harmonicznej (oraz 5. harmonicznej dla generatora ze skosem wirnika) jest wynikiem tzw. harmonicznych, które powstają w wyniku nasycenia obwodu magnetycznego (w stanie jałowym obwód magnetyczny jest najbardziej nasycony) [2]. Obecność wyższych harmonicznych w napięciach związanych z nasyceniem można stwierdzić porównując pomierzoną ich zawartość w stanie ustalonym biegu jałowego dla rzeczywistego generatora synchronicznego i wykonując obliczenia dla matematycznego lub polowego modelu z liniowym obwodem magnetycznym. Do podobnych wniosków można dojść analizując zawartość wyższych harmonicznych w rozkładzie pochodnych indukcyjności wzajemnej pomiędzy uzwojeniami stojana i wzbudzenia dL_af/dq, dL_bf/dq i dL_cf/dq [9, 13] i wykonując obliczenia przy zastosowaniu programów wykorzystujących np. metodę elementów skończonych (Flux, Opera, Maxwell itp).

Podsumowanie

Z porównania zawartości wyższych harmonicznych przestrzennych dla uzwojeń jedno- i dwuwarstwowego oraz trójkątnego wynika, że pomimo dyskretnego sposobu rozłożenia uzwojeń, skos wirnika (lub stojana) najbardziej wpływa na ograniczenie zawartości wyższych harmonicznych w indukowanych napięciach pasmowych stojana. Działanie skosu na ograniczenie zawartości wyższych harmonicznych przestrzennych najbardziej widoczne jest w indukcyjnościach własnych i wzajemnych uzwojeń pasmowych stojana i wirnika (co zostało przedstawione szczegółowo przez autora w pracach [8, 9, 13]) oraz w artykule w indukowanych napięciach w trójfazowych uzwojeniach stojana.

Działanie ograniczające udział amplitud wyższych harmonicznych posiada również rozwarcie żłobków (często pomijane w obliczeniach wypadkowego współczynnika uzwojenia). Rozwarcie żłobków powoduje zwiększenie wypadkowej długości szczeliny powietrznej, co spowoduje zmniejszenie amplitud wyższych harmonicznych.

W indukowanych napięciach pasmowych o zawartości wyższych harmonicznych decydować będą amplitudy v-tej harmonicznej rozkładów pochodnej indukcyjności wzajemnej uzwojeń stojana i wzbudzenia (δL_af/δϑ, δL_bf/δϑ, δL_cf/δϑ w funkcji elektrycznego kąta położenia wirnika J). Występowanie tych harmonicznych w indukowanych napięciach jest szczególnie widoczne dla generatorów bez skosu. Amplitudy tych harmonicznych napięć określone jako w(δL_avf/δϑ)if, w(δL_bfv/δϑ)if, w(δL_cfv/δϑ)if są wzmacniane rzędem v-tej harmonicznej (np. dla pasma a i 49. harmonicznej pochodna δL_af49/δJ = 49 L_af49) i elektryczną prędkością kątową w (dla 50 Hz w = 100p) oraz wartością prądu wzbudzenia i_f.

Literatura

1. Raziee S. M., Kelk H. M., Alikhani H.R. R., Omati A.: Air-Gap Eccentricity Effects on Harmonic Contents of Field Current in Synchronous Generators, International Review of Electrical Engineering. Vol. 5. n. 1, 2010, pp. 83-89.
2. Liao Y., Lipo T. A.: Effect of saturation third harmonic on the performance of squirrel-cage induction machines. Reseach Report 92-8, Madison, Wisconsion, 1992.
3. Wiak S., Nadolski R., Ludwinek K., Staszak J.: Influence of the Synchronous Cylindrical Machine Damping Cage on Content of Higher Harmonics in Armature Currents During Co-Operation with the Distorted and Asymmetrical Electric Power System. Computer Engineering in Applied Electromagnetism, IOS Press, 2006, pp. 520 – 527.
4. Ludwinek K., Nadolski R., Staszak J.: Wpływ niesymetrycznego i odkształconego napięcia sieci na przebiegi napięć i prądów w obwodzie wzbudzenia maszyny synchronicznej. 39th International Symphosium on Electrical Machines, SME'2003, June 11-13, 2003, Gdańsk-Jurata, Poland.
5. Dąbrowski M.: Projektowanie maszyn elektrycznych prądu przemiennego. WNT, Warszawa 1994.
6. Sobczyk T. J.: Metodyczne aspekty modelowania matematycznego maszyn indukcyjnych, WNT, Warszawa, 2004
7. Pyrönen J., Jokinen T., Hrabcová V.: Design of rotating electrical machines. John Wiley & Sons 2008.
8. Ludwinek K.: Odwzorowanie indukcyjności własnych w modelu obwodowym maszyny synchronicznej jawnobiegunowej. Elektro.Info, No 7/8, 2013, pp. 36 - 41.
9. Ludwinek K.: Odwzorowanie indukcyjności wzajemnych w modelu obwodowym maszyny synchronicznej jawnobiegunowej. Elektro.Info, No 9, 2013, pp. 103 - 111.
10. Kamiński G., Przyborowski W.: Uzwojenia i parametry maszyn elektrycznych. OWPW Warszawa 1998.
11. Staszak J.: Kształtowanie charakterystyk elektromechanicznych trójfazowego silnika indukcyjnego klatkowego poprzez dobór uzwojenia stojana oraz układu zasilania. Monografia M31, Kielce 2012.
12. Bewley L. V.: Abridgment of induced voltage of electrical machines, Journal of the American Institute of Electrical Engineers, Vol. 49, n. 3, 1930, pp. 191 - 194.
13. Ludwinek K.: Influence of DC voltage and current of field winding on induced stator voltages of a salient pole synchronous generator. International Review of Electrical Engineering, Vol. 9, n. 1. 2014.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!