Obliczanie zwarć z wykorzystaniem metody składowych symetrycznych (część 2.)
Praktyczne zastosowanie metody składowych symetrycznych
![Linia trójfazowa czteroprzewodowa zasilana z generatora symetrycznego zgodnego: a) schemat linii przed wystąpieniem zwarcia, b) schemat linii sporządzony w układzie odniesienia składowych symetrycznych przed wystąpieniem zwarcia [7]](https://www.elektro.info.pl/media/cache/typical_view/data/202305/obliczanie-zwarc-zdjecie-glowne.jpg)
Linia trójfazowa czteroprzewodowa zasilana z generatora symetrycznego zgodnego: a) schemat linii przed wystąpieniem zwarcia, b) schemat linii sporządzony w układzie odniesienia składowych symetrycznych przed wystąpieniem zwarcia [7]
Powszechnie znane są metody obliczania prądów zwarć symetrycznych oraz prądów zwarć jednofazowych bez udziału ziemi. W praktyce zachodzi potrzeba wyznaczenia prądów zwarć dwufazowych oraz zwarć jednofazowych z udziałem ziemi. W tym zakresie niezbędna jest znajomość metody składowych symetrycznych, która opiera się na elementach algebry liniowej. Prezentujemy kontynuację artykułu, którego część 1. ukazała się w numerze 1-2/2023.
Zobacz także
WAGO ELWAG Sp. z o.o. Optymalny rozdział potencjałów dzięki nowym złączkom TOPJOB® S
Rodzina złączek listwowych TOPJOB® S poszerzyła się ostatnio o nowe rozwiązanie – kompaktowe bloki rozdzielcze, które pozwalają na wydajny rozdział potencjałów za pomocą jednej tylko złączki – bez żadnych...
Rodzina złączek listwowych TOPJOB® S poszerzyła się ostatnio o nowe rozwiązanie – kompaktowe bloki rozdzielcze, które pozwalają na wydajny rozdział potencjałów za pomocą jednej tylko złączki – bez żadnych dodatkowych elementów.
Farnell Projekty w trudnych warunkach przemysłowych
Zastosowanie skomplikowanych urządzeń elektronicznych i czujników do ulepszania i rozszerzania procesów produkcji, obróbki skrawaniem i procesów produkcyjnych w zastosowaniach przemysłowych jest możliwe...
Zastosowanie skomplikowanych urządzeń elektronicznych i czujników do ulepszania i rozszerzania procesów produkcji, obróbki skrawaniem i procesów produkcyjnych w zastosowaniach przemysłowych jest możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie komponenty przetrwają w trudnym środowisku. Systemy muszą wytrzymywać gorące, wilgotne i trudne warunki oraz niszczące pola elektryczne i magnetyczne. Specyficzne warunki środowiskowe, w których produkt jest używany, wpływają na jego specyfikacje. Takie specyfikacje należy...
Michał Skurosz Rozwiązania cyfrowe wspierające efektywność energetyczną w rozdziale energii
Współczesne zakłady produkcyjne stają przed coraz większymi wyzwaniami, które wykraczają poza samą wydajność – kluczowe stają się również efektywność energetyczna i racjonalne zarządzanie mediami. Dogłębna...
Współczesne zakłady produkcyjne stają przed coraz większymi wyzwaniami, które wykraczają poza samą wydajność – kluczowe stają się również efektywność energetyczna i racjonalne zarządzanie mediami. Dogłębna analiza procesów produkcyjnych pozwala zidentyfikować obszary wymagające optymalizacji oraz wdrożyć precyzyjne usprawnienia, które nie tylko spełnią te wymagania, ale również zapewnią długoterminowe korzyści ekonomiczne i środowiskowe.
W artykule:
|
Zwarcie jednofazowe z ziemią
Zakłada się, że linia trójfazowa czteroprzewodowa zasilana jest z generatora symetrycznego zgodnego G1. Linia ta jest symetryczna: ZA=ZB=ZC. Na jej końcu występuje układ napięć odbiornikowych UA; UB; UC. Stan linii przed zwarciem przedstawia rysunek 1.
Rys. 1. Linia trójfazowa czteroprzewodowa zasilana z generatora symetrycznego zgodnego: a) schemat linii przed wystąpieniem zwarcia, b) schemat linii sporządzony w układzie odniesienia składowych symetrycznych przed wystąpieniem zwarcia [7]
Przy generatorze symetrycznym zgodnym obowiązują następujące zależności:
Ponieważ zasilanie jest realizowane z generatora zgodnego, składowe symetryczne uzyskują wartości:
Zatem można zapisać:
Zakładamy, że na końcu linii nastąpiło bezimpedancyjne zwarcie fazy A z ziemią. W tym przypadku ziemię traktujemy jako przewód neutralny o impedancji ZN=0 (rys. 2.).
Rys. 2. Linia trójfazowa czteroprzewodowa zasilana z generatora symetrycznego zgodnego: a) schemat linii po wystąpieniu zwarcia jednofazowego, b) schemat linii sporządzony w układzie odniesienia składowych symetrycznych po wystąpieniu zwarcia [7]
Na podstawie twierdzenia 2. oraz twierdzenia 3. otrzymujemy:
Po dodaniu stronami równań (4) i uwzględnieniu zależności (5) wynikających z twierdzenia 3. i 4. (patrz – część 1., „elektro.info” 1–2/2023), otrzymujemy:
czyli
Na tej podstawie wyznaczamy składowe symetryczne napięcia w miejscu zwarcia:
Natomiast napięcia fazowe w miejscu zwarcia wyniosą:
Dwufazowe zwarcie z ziemią
Przy założeniu, że na końcu linii nastąpiło bezimpedancyjne dwufazowe zwarcie z ziemią oraz ZN=0, należy przyjąć UN=0. Na rysunku 2. została przedstawiona trójfazowa czteroprzewodowa linia symetryczna, zasilana z generatora symetrycznego zgodnego.
Jeżeli zwarcie nastąpiło w fazach B i C, zachodzą następujące związki: (IA; IB; IC)=(0; IB; IC) oraz (UA; UB; UC)=(UA; 0; 0). W takim przypadku można zastosować twierdzenia 2. i 3., zgodnie z którymi:
Natomiast napięcie fazy A względem ziemi wynosi:
Składowe symetryczne prądu w funkcji składowej zgodnej napięcia źródłowego można wyrazić wzorami:
Z przedstawionych wzorów wynika, że:
Natomiast:
Prądy płynące w poszczególnych fazach można wyrazić następującymi wzorami:
- w fazie nieuszkodzonej, z mocy twierdzenia 3. otrzymujemy:
- w pozostałych dwóch fazach objętych zwarciem w funkcji składowej zgodnej:
Natomiast prąd płynący w ziemi jest sumą prądów płynących w fazach objętych zwarciem:
Rys. 3. Czteroprzewodowa trójfazowa linia symetryczna, zasilana z generatora symetrycznego zgodnego: a) schemat linii po wystąpieniu zwarcia dwufazowego, b) schemat zastępczy linii po wystąpieniu zwarcia dwufazowego, w układzie odniesienia składowych symetrycznych [7]
Zwarcie trójfazowe symetryczne
W przypadku zwarcia na końcu symetrycznej linii trójfazowej, w której napięcia źródłowe tworzą układ symetryczny zgodny (EA; EB; EC)=(E; a2E; aE), prądy tworzą również układ symetryczny. Skutkuje to tym, że w miejscu zwarcia prąd zwarciowy nie płynie w przewodzie neutralnym, a suma geometryczna prądów jest równa zeru.
Linię trójfazową symetryczną czteroprzewodową, zasilaną z generatora symetrycznego zgodnego, w której na końcu nastąpiło zwarcie trójfazowe, przedstawia rysunek 4.
Rys. 4. Linia trójfazowa czteroprzewodowa symetryczna, zasilana z generatora symetrycznego: a) schemat linii po wystąpieniu zwarcia trójfazowego z udziałem ziemi, b) schemat zastępczy linii po wystąpieniu zwarcia, w układzie odniesienia składowych symetrycznych [7]
Dla układu symetrycznego zgodnego prądów otrzymujemy: (I0; I1; I2)=(0; I; 0).
W miejscu zwarcia napięcia UA=UB=UC, co oznacza U0=U1=U2=0, zatem:
Co w konsekwencji pozwala na zapisanie prądu zwarciowego następującym wzorem:
Wartość prądu dla składowej zgodnej można wyrazić następującym wzorem:
gdzie:
Praktyczne aspekty stosowania metody składowych symetrycznych
Do wyznaczania prądów zwarć niesymetrycznych stosuje się metodę składowych symetrycznych, gdzie podstawową wyznaczaną wartością jest składowa zgodna początkowego prądu zwarciowego I”k1. Natomiast początkowy prąd zwarcia I”k oblicza się z wykorzystaniem wzoru [7]:
Współczynnik „m” w zależności od rodzaju zwarcia przybiera następujące wartości [7]:
Składową zgodną początkowego prądu zwarcia, w zależności od rodzaju zwarcia, oblicza się z następujących wzorów:
- zwarcie trójfazowe:
- zwarcie dwufazowe doziemne:
- zwarcie dwufazowe:
- zwarcie jednofazowe:
Wzory do obliczeń prądów zwarciowych zostały przedstawione w tabeli 1.
Tab. 1. Prąd początkowy zwarcia, gdy Z1= Z2
Impedancje generatorów
Reaktancje generatorów pomija się ze względu na ich małą wartość i operuje się tylko wartościami reaktancji. Reaktancję indukcyjną zgodną przyjmuje się dla turbogeneratorów i generatorów z biegunami jawnymi i z uzwojeniem tłumiącym równą reaktancji pod przejściowej podłużnej X1 = X”d dla generatorów z biegunami jawnymi, lecz bez uzwojenia tłumiącego, jako równą reaktancji przejściowej podłużnej X1 = X’d.
Reaktancję zgodną wyznacza się z następującego wzoru:
gdzie:
x% – reaktancja, w [%],
Un – napięcie znamionowe generatora, w [kV],
SnG – znamionowa moc pozorna generatora, w [MVA].
Reaktancję przeciwną dla generatorów z biegunami utajonymi lub biegunami jawnymi i uzwojeniem tłumiącym, przyjmuje się jako:
Dla celów obliczeniowych można stosować przybliżenie: X2 = X1.
Dla generatorów z biegunami jawnymi, bez uzwojenia tłumiącego:
gdzie:
X’d – reaktancja przejściowa podłużna,
X’q – reaktancja przejściowa główna poprzeczna.
W przybliżeniu można przyjmować X2 = 1,45 X1. Natomiast reaktancja zerowa Xo = (0,1 – 1,0) X1.
Dla najczęściej spotykanych przypadków można przyjmować: X0 = 0,4 X1.
Impedancje linii napowietrznych
Reaktancję linii obliczamy następująco:
a) linie kablowe:
1. U < 1 kV: X1 = 0,08 • L [Ω/km] (30)
2. U > 1 kV: X1 = 0,1 • L [Ω/km] (31)
b) linia napowietrzna:
1. U < 1 kV: X1 = 0,30 • L [Ω/km] (32)
2. U > 1 kV: X1 = 0,40 • L [Ω/km] (33)
Rezystancję linii obliczamy ze wzoru:
gdzie:
γ – konduktywność żyły przewodzącej, w [m/(Ω⋅mm2)],
S – przekrój żyły przewodzącej, w [mm2],
L – długość linii (przy obliczaniu reaktancji, w km), w [m].
Dla linii napowietrznych X1 = X2.
Reaktancję zerową dla linii jednotorowych przyjmuje się równą:
110 kV bez przewodu odgromowego: X0 = 3,4 X1,
110 kV z jednym przewodem odgromowym: X0 = 2,9 X1,
110 kV z dwoma przewodami odgromowymi: X0 = 2,5 X1.
Dla linii napowietrznej dwutorowej o torach połączonych na obu końcach przyjmuje się następujące wartości składowych symetrycznych:
Impedancja linii kablowych
Impedancję zgodną i przeciwną dla linii kablowych przyjmuje się jako X1 = X2.
Impedancję dla składowej zerowej przyjmuje się jako Xo = (3 – 5) ⋅ X1 dla kabli trójfazowych o izolacji rdzeniowej oraz X0 ≈ X1 dla kabli jednofazowych.
Impedancje transformatorów
Impedancje zgodną i przeciwną transformatorów dwuuzwojeniowych oblicza się z wykorzystaniem następującego wzoru:
gdzie:
ukr% – napięcie zwarcia transformatora, w [%],
Un – napięcie znamionowe transformatora, w [kV],
SnT – znamionowa moc pozorna transformatora, w [MVA].
Reaktancje zerowe dla transformatorów przedstawione zostały w tabeli 2.
Tab. 2. Schematy zerowe transformatorów dwuuzwojeniowych [7]
Przykład
W układzie elektroenergetycznym przedstawionym na rysunku 5. należy obliczyć początkowy prąd zwarciowy na szynach 2 dla zwarć: jednofazowego, dwufazowego oraz trójfazowego.
Rys. 5. Schemat układu elektroenergetycznego
Rys. 6. Schematy zastępcze układu elektroenergetycznego z rysunku 5. dla kolejności zgodnej, przeciwnej i zerowej
Rys. 7. Schematy zastępcze układu elektroenergetycznego po uproszczeniach dla kolejności zgodnej, przeciwnej i zerowej po dalszych uproszczeniach
Rys. 8. Schematy zastępcze po kolejnych uproszczeniach dla kolejności zgodnej, przeciwnej i zerowej
Rys. 9. Schemat zastępczy układu elektroenergetycznego z rysunku 5. do obliczenia prądu zwarcia 3-fazowego
Rys 10. Schemat zastępczy układu elektroenergetycznego z rysunku 5. do obliczenia prądu zwarcia 2-fazowego
Rys. 11. Schemat zastępczy układu elektroenergetycznego z rysunku 5. do obliczenia prądu zwarcia 1-fazowego
Dane:
Turbogeneratory G1, G2:
S=30 MVA,
Un=6 kV,
x”d=15%.
Transformatory T1, T2:
5-kolumnowe,
Sn=30 MVA,
∂=6/110 kV/kV,
uk=11%.
Transformatory T3, T4:
3-kolumnowe,
Sn=25 MVA,
∂=110/15 kV/kV,
uk=11%.
Linia napowietrzna L1:
Dwutorowa, z dwoma przewodami odgromowymi:
L=40 km,
S=120 mm2.
Linia napowietrzna L2:
Dwutorowa, z dwoma przewodami odgromowymi:
L=50 km,
S=120 mm2.
Impedancja uziemienia Z=2Ω.
Przed rozpoczęciem obliczeń należy stworzyć schemat zastępczy kolejności zgodnej, przeciwnej i zerowej. W obliczeniach zostanie pominięta rezystancja, z uwagi na wartość napięcia 110 kV.
Reaktancje generatorów:
Po przeliczeniu na 110 kV:
Reaktancje transformatorów:
Linie elektroenergetyczne:
Linia L1:
Linia L2:
Uziemienie:
Zopu = 3 ⋅ 2 = 6Ω
Składowe symetryczne dla schematu zastępczego:
Prąd początkowy zwarcia:
Zwarcie trójfazowe – składowa zgodna początkowego prądu zwarcia:
Początkowy prąd zwarciowy:
Zwarcie dwufazowe – składowa zgodna początkowego prądu zwarciowego:
Początkowy prąd zwarciowy:
Zwarcie jednofazowe – składowa zgodna początkowego prądu zwarciowego:
Początkowy prąd zwarciowy:
Uwaga!
W zależności od celu obliczeń zwarciowych określa się największy lub najmniejszy spodziewany prąd zwarciowy.
Największy spodziewany początkowy prąd zwarciowy I”k obliczany jest dla potrzeb doboru obciążalności zwarciowej urządzeń, aparatów elektrycznych lub przewodów oraz kabli. Przyjmuje się jako największą wartość prądu zwarciowego prąd zwarcia symetrycznego, co w praktyce nie zawsze jest prawdą. W przypadku występowania silników lub innych źródeł należy je w obliczeniach uwzględnić.
Natomiast najmniejszy prąd zwarciowy I”k min oblicza się w celu sprawdzenia czułości zabezpieczeń zwarciowych oraz oceny samoczynnego wyłączenia, dla sieci oraz instalacji nn, zgodnie z wymaganiami normy PN-HD 60364-4-41:2009 (2017-09).
W niektórych przypadkach, gdy zwarcie jest zasilane poprzez transformator o układzie połączeń Yzn lub Dzn (zachodzi przypadek, w którym Z0/Z < 1, przy czym Z1 = Z2 = Z), prąd zwarcia jednofazowego może być większy od prądu zwarcia symetrycznego. Wówczas należy obliczyć go z następującej zależności:
W takim przypadku jako największy spodziewany prąd zwarciowy początkowy, przyjmowany jako podstawa doboru obciążalności zwarciowej urządzeń, należy przyjmować prąd I”k1max obliczany ze wzoru (37). Na tej podstawie należy obliczyć prąd zwarciowy udarowy, prąd zwarciowy wyłączeniowy oraz prąd zwarciowy zastępczy cieplny.
Na impedancję obwodu zwarciowego składa się rezystancja Rk oraz reaktancja Xk. Dopuszcza się pominięcie rezystancji Rk w obwodzie o małym stosunku R/X (ma to miejsce w sieciach elektroenergetycznych o napięciu Un > 35 kV). Błąd w obliczeniach prądu zwarciowego w takim przypadku można obliczyć z następującej zależności:
Jeśli stosunek R/X jest mniejszy od 0,32, to błąd w obliczeniach prądu I”k nie przekroczy 5%, a jeśli będzie mniejszy od 0,1, wartość błędu nie przekroczy 0,5%. Podobnie w przypadku małego stosunku X/R, co ma miejsce w głębi instalacji niskiego napięcia, pominięcie reaktancji powoduje, że w przypadku wartości mniejszej od 0,32 błąd w obliczeniach prądu I”k nie przekroczy 5%, a jeśli będzie mniejszy od 0,1, wartość błędu nie przekroczy 0,5%. Wartość błędu można obliczyć ze wzoru:
Literatura
- T. Cholewicki, Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWNT, 1973.
- T. Kahl, Sieci elektroenergetyczne, WNT, 1984.
- M. Kochel, K. Szczęsny, S. Niestępski, J. Pasternakiewicz, A. Śloski, Zbiór zadań z sieci elektroenergetycznych, WPW, 1974.
- I. Dziubiński, L. Siewierski, Elementy matematyki wyższej cz. 1, Zeszyt 1, Łódź 1981.
- E. Musiał, Prądy zwarciowe w niskonapięciowych instalacjach i urządzeniach prądu przemiennego, www.edwardmusial.info.
- J. Wiatr, M. Orzechowski, Poradnik Projektanta Elektryka, wyd. 6, Grupa MEDIUM, Warszawa 2021.
- Publikacja pod redakcją K. Szczęsnego, Elektroenergetyczne sieci rozdzielcze, WNPWN 1994.
- P. Kacejko, J. Machowski, Zwarcia w systemach elektroenergetycznych, WNT 2002.
- J. Wiatr, Obliczanie zwarć w sieciach elektroenergetycznych oraz instalacjach elektrycznych niskiego napięcia, Grupa MEDIUM, 2021.
