Funkcje niezawodnościowe transformatorów energetycznych SN/nn eksploatowanych wnętrzowo
Empiryczna funkcja niezawodności transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych, rys. A. Ł. Chojnacki
Problem niezawodności sieci elektroenergetycznych oraz urządzeń w nich eksploatowanych jest bardzo ważny ze względu na pewność dostaw energii elektrycznej do znacznej grupy jej odbiorców. W wielu przypadkach przerwy w dostawie energii stwarzają realne zagrożenie dla życia lub zdrowia ludzkiego, np. w przypadku osób korzystających z profesjonalnej aparatury medycznej podtrzymującej życie. Stałe więc nadzorowanie pracy sieci oraz analiza awarii w nich występujących są konieczne, aby ustalić metody właściwej eksploatacji oraz przedsięwziąć wszelkie środki mające na celu wyeliminowanie niektórych awarii w przyszłości. Konieczne jest zwłaszcza wyeliminowanie tych awarii, które wynikają z zaniedbań służb eksploatacyjnych oraz niewłaściwej organizacji pracy przy urządzeniach elektroenergetycznych. Niestety, wraz z upływem czasu niewiele się w tym zakresie zmienia.
Zobacz także
WAGO ELWAG Sp. z o.o. Optymalny rozdział potencjałów dzięki nowym złączkom TOPJOB® S
Rodzina złączek listwowych TOPJOB® S poszerzyła się ostatnio o nowe rozwiązanie – kompaktowe bloki rozdzielcze, które pozwalają na wydajny rozdział potencjałów za pomocą jednej tylko złączki – bez żadnych...
Rodzina złączek listwowych TOPJOB® S poszerzyła się ostatnio o nowe rozwiązanie – kompaktowe bloki rozdzielcze, które pozwalają na wydajny rozdział potencjałów za pomocą jednej tylko złączki – bez żadnych dodatkowych elementów.
Farnell Projekty w trudnych warunkach przemysłowych
Zastosowanie skomplikowanych urządzeń elektronicznych i czujników do ulepszania i rozszerzania procesów produkcji, obróbki skrawaniem i procesów produkcyjnych w zastosowaniach przemysłowych jest możliwe...
Zastosowanie skomplikowanych urządzeń elektronicznych i czujników do ulepszania i rozszerzania procesów produkcji, obróbki skrawaniem i procesów produkcyjnych w zastosowaniach przemysłowych jest możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie komponenty przetrwają w trudnym środowisku. Systemy muszą wytrzymywać gorące, wilgotne i trudne warunki oraz niszczące pola elektryczne i magnetyczne. Specyficzne warunki środowiskowe, w których produkt jest używany, wpływają na jego specyfikacje. Takie specyfikacje należy...
Anna Kuziemska Nowe źródła, nowe wymagania: rozdzielnice SN w projektach OZE i magazynów energii
Dynamiczny rozwój odnawialnych źródeł energii, magazynów energii oraz nowych przyłączeń przemysłowych zmienia sposób projektowania infrastruktury elektroenergetycznej średniego napięcia. Rozdzielnica SN...
Dynamiczny rozwój odnawialnych źródeł energii, magazynów energii oraz nowych przyłączeń przemysłowych zmienia sposób projektowania infrastruktury elektroenergetycznej średniego napięcia. Rozdzielnica SN nie jest już wyłącznie elementem klasycznej stacji transformatorowej – coraz częściej staje się węzłem, który musi obsłużyć dwukierunkowy przepływ energii, współpracę z automatyką zabezpieczeniową, systemami telemechaniki, układami pomiarowymi, magazynami energii oraz rozproszonymi źródłami wytwórczymi.
W artykule:
|
StreszczenieW artykule przedstawiona została analiza podstawowych funkcji charakteryzujących właściwości niezawodnościowe transformatorów energetycznych SN/nn eksploatowanych w dystrybucyjnych stacjach wnętrzowych oraz napowietrznych, jakimi są funkcja intensywności awarii, funkcja niezawodności, funkcja zawodności, a także funkcja gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia awarii. Na podstawie wieloletnich obserwacji transformatorów SN/nn eksploatowanych na terenie dużej spółki dystrybucyjnej energii elektrycznej w kraju określone zostały przebiegi empiryczne wymienionych funkcji. Podjęta została także próba realizacji modeli teoretycznych otrzymanych funkcji empirycznych. |
Bardzo ważnym zagadnieniem jest wyznaczenie parametrów oraz funkcji określających właściwości niezawodnościowe poszczególnych urządzeń sieciowych. Pozwala to na opracowanie optymalnych metod ich eksploatacji. W wielu przypadkach uzyskanie pełnej informacji jest niemożliwe ze względu na brak wiarygodnych danych pochodzących z eksploatacji. Dlatego też w większości przypadków podaje się jako parametr charakterystyczny stacji, linii czy też innego urządzenia współczynnik zawodności q oraz średnią intensywność awarii λ, ewentualnie średni czas trwania odnowy (awarii) ta [3]. W artykule autor wyznaczył funkcje niezawodności, funkcje zawodności oraz funkcje intensywności uszkodzeń dla transformatorów SN/nn. Ze względu na odmienne warunki eksploatacyjne analizy przeprowadzone zostały rozłącznie dla transformatorów eksploatowanych w stacjach elektroenergetycznych SN/nn napowietrznych oraz wnętrzowych. Analizy te zostały przeprowadzone na podstawie danych pochodzących z 10 lat obserwacji transformatorów na terenie działania dużej spółki dystrybucyjnej energii elektrycznej w kraju. Przyjęty poziom istotności α = 0,05.
Podstawowe funkcje niezawodnościowe
Niezawodność urządzenia lub systemu wyraża jego zdolność do wykonania określonych funkcji w określonym przedziale czasowym oraz w zadanych warunkach [6, 10]. W sensie matematycznym niezawodność jest prawdopodobieństwem warunkowym, że urządzenie będzie pracowało bez uszkodzenia od chwili jego uruchomienia do chwili t, pod warunkiem, że w chwili włączenia (t = 0) urządzenie było sprawne [1, 7, 10, 12]:
gdzie:
S(t) – stan obiektu w chwili czasu t;
S – stan zdatności obiektu.
Powyżej przedstawiona funkcja nosi nazwę funkcji niezawodności lub inaczej funkcji życia urządzenia [10].
Biorąc pod uwagę, iż R(0) = 1, czyli że urządzenie w chwili uruchomienia było zdatne, można zapisać:
Funkcja niezawodności stanowi układ zupełny zdarzeń z funkcją zawodności F(t):
gdzie:
S – stan uszkodzenia urządzenia.
Jest to więc prawdopodobieństwo warunkowe uszkodzenia się obiektu do chwili czasu t, pod warunkiem, że urządzenie w chwili uruchomienia było zdatne (F(0) = 0). Prawdopodobieństwo to nazywane jest również rozkładem trwałości.
Pochodna funkcji zawodności po czasie jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia uszkodzenia:
Bardzo ważnym pojęciem jest trwałość obiektu, nazywana także czasem życia obiektu. Trwałość obiektu jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(t). Stąd jej wartość oczekiwana określona jest zależnością:
Bardzo ważna w teorii niezawodności jest funkcja intensywności uszkodzeń, którą definiuje się jako stosunek prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu w przedziale czasu od t do t+Δt do wielkości tego przedziału przy Δt → 0, przy założeniu, iż do chwili t uszkodzenie elementu nie nastąpiło:
Zatem intensywność uszkodzeń l(t) charakteryzuje w każdej chwili t względne pogorszenie się niezawodności obiektu przypadające na jednostkę czasu Δt = 1. Dla porównania gęstość prawdopodobieństwa f(t) wyraża bezwzględne pogorszenie niezawodności obiektu przypadające na jednostkę czasu [4, 10].
Kolejną funkcją charakteryzującą niezawodność obiektu jest skumulowana intensywność uszkodzeń, zwana także funkcją wiodącą [4, 10]:
Jest ona miarą wyczerpywania się zapasu możliwości wykonania przez obiekt postawionego mu zadania.
Niezawodność obiektu można także scharakteryzować, poprzez określenie funkcji oczekiwanego pozostałego czasu zdatności:
Metoda „próby dynamicznej” określania funkcji niezawodnościowych urządzeń elektroenergetycznych
Aby w sposób pełny określić właściwości niezawodnościowe obiektów elektroenergetycznych nienaprawialnych, należy określić ich funkcje R(t), F(t) oraz l(t). W przypadku obiektów podlegających odnowie należy dodatkowo określić rozkład odnowy oraz dane procesu stochastycznego, opisującego jego pracę. Należy zbadać takie właściwości procesu jak stacjonarność, stałość intensywności uszkodzeń i odnowy itp. W praktyce, ze względu na brak wiarygodnych danych pochodzących z eksploatacji urządzeń, uzyskanie pełnej i dokładnej informacji niezawodnościowej jest bardzo trudne i pracochłonne, a w wielu przypadkach wręcz niemożliwe. Dlatego też najczęściej do przybliżonych analiz i obliczeń, wykorzystywane są wartości średnie intensywności uszkodzeń oraz średnie czasy trwania odnowy (naprawy) ta.
W przypadku gdy istnieje konieczność wyznaczenia funkcji niezawodnościowych (R(t), F(t) lub l(t)), ich oszacowania dokonuje się w odmienny sposób, w zależności od rodzaju próby statystycznej, jaką dysponujemy.
W przypadku wprowadzenia do eksploatacji jednocześnie N elementów i badania ich zawodności w czasie t, mamy do czynienia z próbą losową pełną. W takim przypadku oszacowaniem wartości funkcji niezawodności R(t) jest estymator R*(t):
gdzie:
n(t) – liczba elementów, które w przedziale czasu od (0, t> nie uległy uszkodzeniu;
N – liczba badanych elementów.
Analogicznie, estymatorem funkcji zawodności F*(t) jest:
gdzie:
m(t) – liczba elementów, które w przedziale czasu od (0, t>) uległy uszkodzeniu.
W przypadku urządzeń elektroenergetycznych bardzo rzadko zdarza się, aby do eksploatacji jednocześnie trafiała większa populacja. Są one zazwyczaj wprowadzane w niewielkich ilościach, w różnych chwilach czasowych. W takim przypadku zastosowanie metody próby losowej pełnej nie jest możliwe.
W publikacji [10] przedstawiona została metoda próby losowej dynamicznej, polegająca na jednoczesnej obserwacji obiektów będących w różnych latach eksploatacji. Opiera się ona na czterech głównych założeniach:
- Ocena niezawodności obiektu odbywa się poprzez analizę populacji obiektów, które w chwili badań znajdują się w różnych latach eksploatacji;
- Właściwości niezawodnościowe obiektów określone są przez funkcję niezawodności R(t);
- Proces odnowy obiektów nie zmienia ich właściwości niezawodnościowych, ponieważ ogranicza się do usunięcia awarii konkretnego urządzenia (elementu) w nich zainstalowanego;
- Czas trwania awarii obiektu jest znacznie krótszy w porównaniu z czasem jego eksploatacji i może być pominięty w powyższej analizie.
Badaniu podlega próba statystyczna zawierająca obiekty znajdujące się w różnych latach eksploatacji. W konkretnym roku obserwacji
j (j = 1, 2, 3, ..., l) liczba obiektów jest sumą obiektów znajdujących się w konkretnym i-tym roku eksploatacji (i = 1, 2, 3, ..., k):
gdzie:
nj – liczba obiektów w j-tym roku obserwacji;
nij – liczba obiektów w i-tym roku eksploatacji i j-tym roku obserwacji.
Analogicznie, liczba awarii obiektów jaka wystąpiła w j-tym roku obserwacji jest sumą liczby awarii obiektów znajdujących się w różnych latach eksploatacji i:
gdzie:
mj – liczba awarii w j-tym roku badań;
mij – liczba awarii obiektów znajdujących się w i-tym roku eksploatacji, w j-tym roku obserwacji.
Często w celu zwiększenia liczności próby statystycznej prowadzi się obserwację przez szereg lat i łączy wyniki z kilku lat, co jest równoważne uśrednieniu parametrów z tych lat. W takim przypadku łączną liczbę obiektów oraz liczbę awarii obiektów znajdujących się w i-tym roku eksploatacji wyznacza się z zależności:
gdzie:
i = 1, 2, 3, ..., k – kolejne lata eksploatacji;
j = 1, 2, 3, ..., l – kolejne lata prowadzenia badań.
Estymator średniej intensywności uszkodzeń obiektów w i-tym roku eksploatacji jest równy:
przy czym:
jest zastępczą liczbą obiektów będących w i tym roku eksploatacji, przy założeniu, że liczba wprowadzanych do eksploatacji obiektów zmienia się liniowo w ciągu roku.
Znając funkcję intensywności uszkodzeń obiektów w postaci wartości dyskretnych li można wyznaczyć wartość średniej intensywności uszkodzeń [10]:
W teorii niezawodności bardzo ważna jest znajomość częstości uszkodzeń fi oraz jej dystrybuanty Fi. Na podstawie znajomości dyskretnych wartości li w poszczególnych latach użytkowania obiektu można wyznaczyć estymatory fi* oraz Fi*, a także Ri*:
przy czym zachowany musi być warunek normalizacyjny:
Wyznaczone za pomocą wzorów od (18) do (20) wartości dyskretne fi*, Fi* oraz Ri* są realizacjami ciągłych funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(t), funkcji zawodności F(t) oraz funkcji niezawodności R(t), dla poszczególnych lat eksploatacji i (i = 1, 2, 3, ..., k). Wyznaczenie funkcji intensywności awarii, zawodności, czy też niezawodności nie rozwiązuje więc problemu estymacji parametrów niezawodnościowych. Ważna jest również analiza zgodności typu rozkładu empirycznego z wybranym rozkładem teoretycznym. Analizę taką wykonuje się według zasad estymacji nieparametrycznej. W wielu przypadkach oszacowania parametrów nieznanej funkcji można dokonać z wystarczającą dokładnością za pomocą siatek funkcyjnych [9, 10]. Weryfikacja hipotezy o rozkładzie może zostać przeprowadzona za pomocą testu znaków lub testu Wolda-Wolfowitza, zwanego także testem serii [5, 9, 10].
Ocena funkcji niezawodnościowych transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych
Liczba obserwowanych transformatorów 15/0,4 kV eksploatowanych w stacjach wnętrzowych wzrastała z 2374 na początku obserwacji do 2533 na koniec obserwacji. Statystyka uszkodzeń tych urządzeń obejmuje natomiast 99 przypadków awarii.
Awarie transformatorów energetycznych pogrupowano w próby o licznościach ni – liczba transformatorów znajdujących się w i – tym roku eksploatacji oraz mi – liczba transformatorów uszkodzonych w i-tym roku eksploatacji. Na podstawie zależności (15), (18), (19) oraz (20) obliczone zostały wartości empiryczne intensywności uszkodzeń , częstości uszkodzeń fi*, funkcji niezawodności Ri* oraz zawodności (trwałości) Fi*. Wyniki obliczeń przedstawione zostały w tabeli 1. oraz zaprezentowane graficznie na rysunkach 1 – 4.
Tab. 1. Wyniki obliczeń statystycznych intensywności, częstości uszkodzeń, rozkładu trwałości oraz rozkładu niezawodności dla transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych
Rys. 1. Empiryczna intensywność uszkodzeń transformatorów eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych SN/nn, rys. A. Ł. Chojnacki
Rys. 2. Empiryczna częstość uszkodzeń transformatorów eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych SN/nn, rys. A. Ł. Chojnacki
Rys. 3. Empiryczna funkcja zawodności transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych, rys. A. Ł. Chojnacki
Rys. 4. Empiryczna funkcja niezawodności transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych, rys. A. Ł. Chojnacki
W przypadku transformatorów eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych, empiryczna intensywność awarii (rys. 1.) odbiega w sposób zdecydowany od typowego przebiegu tej funkcji podawanego w literaturze dla obiektów technicznych, przedstawionego na rysunku 5. [2, 9, 10]. Nietypowy jest wzrost intensywności między 10. a 15. rokiem eksploatacji, następnie intensywność awarii zmniejsza się, aby po 30. roku jej wartość ponownie gwałtownie wzrosła. Analiza przeprowadzona przez autora pozwoliła na ustalenie, iż wzmożoną awaryjność około 10 roku wykazują głównie starego typu transformatory z uzwojeniami aluminiowymi. Potwierdzają to także autorzy innych publikacji, np. [11].
Rys. 5. Teoretyczna funkcja intensywności uszkodzeń λ(t) dla większości obiektów technicznych, (rys. własny wg [10])
Na podstawie danych empirycznych, w oparciu o metodę dynamicznej próby losowej [4, 9, 10], podjęta została próba realizacji modeli teoretycznych funkcji intensywności awarii, funkcji niezawodności oraz funkcji trwałości transformatorów. Na podstawie szczegółowej analizy otrzymanych wyników przyjęto, iż funkcja intensywności awarii transformatorów SN/nn eksploatowanych w stacjach wnętrzowych jest superpozycją trzech rozkładów intensywności λ1(t), λ2(t), λ3(t) o postaci:
gdzie:
k1, k2, k3 – udziały awarii w poszczególnych latach eksploatacji, wyrażone zależnościami:
l1 – liczba awarii transformatorów, które wystąpiły do 20. roku eksploatacji;
l2 – liczba awarii transformatorów, które wystąpiły między 21. a 30. rokiem eksploatacji;
l3 – liczba awarii transformatorów, które wystąpiły od 31. roku eksploatacji;
l – liczba wszystkich awarii.
Jako rozkłady intensywności awarii przyjęto: dla frakcji pierwszej λ1(t) – rozkład logarytmiczno-normalny, dla frakcji drugiej λ2(t) – rozkład wykładniczy, dla frakcji trzeciej λ3(t) – rozkład Weibulla. Funkcje intensywności awarii dla powyższych rozkładów wyrażają się zależnościami [4, 8, 10, 12]:
gdzie:
s – odchylenie standardowe zmiennej losowej log t;
m – wartość oczekiwana zmiennej losowej log t;
lw – stała wartość intensywności awarii;
n – parametr kształtu rozkładu Weibulla;
b – parametr skali rozkładu Weibulla;
F – całka Laplace’a.
Na podstawie analizy empirycznej funkcji l(t) wyznaczone zostały następujące wartości liczności poszczególnych frakcji transformatorów pracujących w stacjach wnętrzowych: l1 = 63, l2 = 13, l3 = 23, l = 99 oraz udziały awarii w poszczególnych frakcjach k1 = 0,64, k2 = 0,13, k3 = 0,23.
Wyznaczone z wykorzystaniem pakietów Statistica, Mathematica oraz Excela wartości parametrów rozkładów (24), (25) oraz (26) wynoszą: m = 2,5739, F = 0,4210, lw = 0,056, n = 12,26 oraz b = 38,12.
Po podstawieniu wyznaczonych wartości do zależności (22) teoretyczna funkcja intensywności awarii transformatorów eksploatowanych w stacjach wnętrzowych przyjmuje postać:
Teoretyczna funkcja intensywności awarii transformatorów SN/nn eksploatowanych w stacjach wnętrzowych została przedstawiona na rysunku 6.
Rys. 6. Teoretyczna funkcja intensywności uszkodzeń l(t) transformatorów SN/nn eksploatowanych we wnętrzowych stacjach elektroenergetycznych, rys. A. Ł. Chojnacki
Weryfikacja hipotezy o rozkładzie została przeprowadzona za pomocą testu znaków (tab. 2.). Na podstawie przeprowadzonych obliczeń, dla poziomu istotności α = 0,05, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, iż funkcja intensywności awarii transformatorów jest superpozycją trzech rozkładów, wyrażoną zależnością (27).
Tab. 2. Weryfikacja hipotezy o rozkładzie teoretycznym funkcji intensywności awarii transformatorów SN/nn eksploatowanych w stacjach wnętrzowych z wykorzystaniem testu znaków dla α = 0,05
Wykorzystując zależności między funkcjami R(t), F(t) i l(t) funkcję niezawodności transformatorów SN/nn eksploatowanych wnętrzowo można zapisać w postaci:
natomiast funkcję zawodności:
Funkcje R(t) oraz F(t) dla transformatorów SN/nn eksploatowanych wnętrzowo przedstawia rysunek 7.
Rys. 7. Teoretyczne funkcje niezawodności R(t) oraz zawodności F(t) transformatorów SN/nn eksploatowanych w stacjach wnętrzowych, rys. A. Ł. Chojnacki
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa czasu poprawnej pracy tych transformatorów, przyjmuje postać:
Na podstawie zależności (5) wyznaczona została wartość oczekiwana czasu poprawnej pracy transformatorów SN/nn eksploatowanych w stacjach wnętrzowych. Wartość ta wynosi 21,38 lat.
Literatura
- Barra J.R., Matematyczne podstawy niezawodności. PWN, Warszawa, 1982
- Bełdowski T., Markiewicz H., Stacje i urządzenia elektroenergetyczne. WNT, Warszawa, 1995
- Chojnacki A. Ł., Awaryjność transformatorów energetycznych 15/0,4kV eksploatowanych w sieciach dystrybucyjnych. ElektroInfo Nr 11/2021, s. 74-82
- Chojnacki A. Ł., Chojnacka K. J., Niezawodność elektroenergetycznych sieci dystrybucyjnych. Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 2018, PL ISBN 978-83-65719-28-7
- Greń J.: Modele i zadania statystyki matematycznej. PWN, Warszawa, 1982
- Kowalski Z., Niezawodność zasilania odbiorców energii elektrycznej. Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź, 1992
- Maksymiuk J., Niezawodność maszyn i urządzeń elektrycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2003
- Popczyk J., Modele probabilistyczne w sieciach elektroenergetycznych. WNT, Warszawa, 1991
- Sozański J., Niezawodność urządzeń i układów elektroenergetycznych. PWN, Warszawa, 1974
- Sozański J., Niezawodność zasilania energią elektryczną. WNT, Warszawa, 1982
- Stobiecki A., Analiza parametrów niezawodnościowych transformatorów rozdzielczych średnich napięć. Praca doktorska, Kielce, 2006
- Wróblewski Z., Siwak P., Analiza trwałości eksploatacyjnej transformatorów o mocach od 25 kVA do 100 MVA. Energetyka Nr 11/ 2008, s. 770-774
