Wielofunkcyjny analizator do stacji ładowania pojazdów elektrycznych

Narzędzia, na których możesz polegać w energetyce i kolejnictwie

PRYSMIAN POLSKA Dym może być groźniejszy niż ogień. Co ma do tego instalacja kablowa?

Dym może być groźniejszy niż ogień. Co ma do tego instalacja kablowa?

Dziesiątki, a nawet setki kilometrów kabli w tunelu, na stacji metra, w centrum handlowym czy szpitalu są częścią infrastruktury, która ma umożliwić ludziom bezpieczną ewakuację w razie pożaru. Test porównawczy Prysmiana pokazuje, jak różne rodzaje kabli wpływają na szybkość, z jaką dym z palącego się kabla ogranicza widoczność, przysłaniając znaki ewakuacyjne.

Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

dr inż Olgierd Małyszko | elektro.info 10/2016 | 2016-10-27

Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.

Rys. Elektro.Info

Do najpoważniejszych awarii w pracy systemu SEE należy utrata stabilności. Zgodnie z zasadą, że „lepiej zapobiegać niż leczyć”, lepiej jest zapobiegać tego typu awariom niż naprawiać ich skutki. W tym celu konieczne jest wczesne zidentyfikowanie możliwości wystąpienia takiej awarii. Dlatego celem niniejszego artykułu jest zwrócenie uwagi na możliwość wykorzystania do analizy pracy SEE stosunkowo nowego narzędzia matematycznego, jakim są wykładniki Lapunowa.

W analizowanym zagadnieniu istotne jest to, że w czasie normalnej pracy SEE wykładnik Lapunowa ma wartość ujemną, natomiast w punkcie utraty stabilności jego wartość przekracza zero. Oznacza to, że w miarę zbliżania się układu do punktu utraty stabilności wykładnik Lapunowa zbliża się do zera.

Tę właściwość można wykorzystać do wczesnego wykrywania groźby utraty stabilności przez SEE. W artykule przedstawiono to na przykładzie prostego modelu generator-sieć sztywna.

Definicja wykładników Lapunowa

Interpretację graficzną wykładnika Lapunowa (Lyapunov exponent) przedstawiono na rys. 1.

Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa; rys. O. Małyszko

W chwili t₁ układ dynamiczny znajduje się w punkcie X₁. Jeśli w tym momencie nastąpi niewielkie zaburzenie, to układ znajdzie się w punkcie X₁+ε₁ (czyli będzie w niewielkiej odległości ε₁ od układu niezaburzonego). Po pewnym czasie t układ niezaburzony znalazłby się w punkcie X₂, natomiast układ zaburzony znajdzie się w punkcie X₂+ε₂. Wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym (potoku) definiuje zależność (1) (należy zaznaczyć, że wzór (1) można wyprowadzić w ścisły matematyczny sposób, natomiast przedstawiona interpretacja jest używana, aby pominąć to niezbyt łatwe matematyczne wyprowadzenie):

Wzór 1

Jeśli z biegiem czasu zaburzenie maleje (|ε₂| < |ε₁|), to zgodnie ze wzorem (1), wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera. Jeśli odległość między trajektorią zaburzoną a niezaburzoną się nie zmienia (|ε₂| = |ε₁|), to wykładnik jest równy zeru. Natomiast jeśli zaburzenie rośnie z biegiem czasu, to wykładnik jest dodatni.

Wynika z tego, że jeśli układ dynamiczny jest lekko zaburzony, to wykładnik Lapunowa opisuje prędkość, z jaką to zaburzenie zmienia się w czasie. Zgodnie z zależnością (1) wielkość zaburzenia po czasie t można opisać zależnością |ε₂| ≈ |ε₁|e^λt.

Jeśli wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera, to zaburzenie będzie malało do zera, czyli startując z dwóch początkowo różnych punktów układ dynamiczny po pewnym czasie osiągnie to samo rozwiązanie. W przeciwnym przypadku, gdy wykładnik jest większy od zera, to zaburzenie będzie rosło i startując z dwóch początkowo bliskich punktów trajektorie będą się coraz bardziej rozbiegać.

Dzięki takiej właściwości za pomocą wykładników Lapunowa można określić stabilność układu dynamicznego.

Zależność (1) opisuje wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym.

Podobnie definiuje się wykładnik dla odwzorowania jednowymiarowego (kaskady) (2):

Wzór 2

Liczba wykładników Lapunowa

Układ dynamiczny ma tyle wykładników Lapunowa, ile ma stopni swobody. Natomiast liczba stopni swobody jest to najmniejsza liczba niezależnych zmiennych potrzebnych do jednoznacznego opisania stanu układu.

Wynika z tego, że układy jednowymiarowe mają jeden wykładnik, natomiast układy wielowymiarowe mają ich odpowiednio więcej. W praktyce natomiast często analizuje się tylko jeden, zazwyczaj największy wykładnik Lapunowa, co może mylnie sugerować, że każdy układ ma tylko jeden wykładnik.

Zastosowanie wykładników Lapunowa do klasyfikacji układów dynamicznych

Jak wcześniej wspomniano, każdy układ dynamiczny ma tyle wykładników Lapunowa, ile ma stopni swobody, czyli w zasadzie tyle, ile zmiennych opisuje ten układ.

Tab. 1. Klasyfikacja atraktorów

Jeśli każdej zmiennej przyporządkujemy oś w układzie współrzędnych, to każdy wykładnik Lapunowa jest miarą rozbiegania się trajektorii wzdłuż danej osi. Pomiędzy wykładnikami Lapunowa a typem atraktora istnieje ścisły związek (atraktor jest to zbiór w przestrzeni fazowej, do którego zmierzają trajektorie rozpoczynające się w różnych punktach przestrzeni fazowej). W tab. 1. przedstawiono wartości wykładników Lapunowa dla odpowiednich typów atraktorów.

Z tab. 1. wynika, że jeśli rozwiązaniem układu dynamicznego jest punkt stały, to wszystkie wykładniki Lapunowa tego układu są mniejsze od zera. Jeśli rozwiązanie jest w postaci krzywej zamkniętej (np. okrąg), to jeden wykładnik jest równy zero, a pozostałe są mniejsze od zera itd. Wynika z tego również, że jeśli dla pewnej wartości parametru kontrolnego dany układ ma rozwiązanie w postaci punktu, a dla innej wartości inny typ atraktora, np. krzywa zamknięta, to największy wykładnik Lapunowa, wraz ze zmianą wartości parametru kontrolnego, będzie się zmieniał od wartości ujemnych do zera. W dalszej części artykułu pokazano, że tę właściwość można wykorzystać jako kryterium stabilności SEE.

Wyznaczanie wykładników Lapunowa

Analitycznie, zgodnie ze wzorami (1) lub (2), udaje się wyznaczyć wykładnik Lapunowa jedynie dla nielicznych odwzorowań jednowymiarowych. Na przykład, dla odwzorowania trójkątnego:

wynosi on λ = ln(2r).

We wszystkich pozostałych przypadkach konieczne jest stosowanie metod numerycznych.

Dla odwzorowań jednowymiarowych można wyznaczyć numerycznie wykładnik Lapunowa stosując wzór (2). Natomiast dla układów wielowymiarowych bezpośrednie zastosowanie wzoru (1) lub (2) jest niemożliwe.

W literaturze można znaleźć wiele pozycji poświęconych numerycznemu wyznaczaniu wykładników Lapunowa dla układów wielowymiarowych, np. [3], [4], [5].

Ponadto opracowane są również metody wyznaczania wykładników Lapunowa z danych pomiarowych, np. [1], [2].

Zastosowanie wykładnika Lapunowa jako kryterium stabilności SEE

Zgodnie z tab. 1. wykładniki Lapunowa mogą przyjmować różne wartości (ujemne, równe zero lub dodatnie) w zależności od typu atraktora, jaki ma dany układ dynamiczny.

W przypadku omawianej metody istotne jest to, że największy wykładnik Lapunowa przyjmuje wartości ujemne w obszarze stabilnej pracy, natomiast w punkcie bifurkacji siodło-węzeł jest równy zero.

Po przekroczeniu punktu bifurkacji znikają oba punkty stałe i analizowany układ traci stabilność.

Jako kryterium stabilności proponuje się wykorzystać fakt, że w miarę zbliżania się do punktu utraty stabilności (punktu bifurkacji) wykładnik Lapunowa zbliża się do zera.

Metoda zostanie przedstawiona na przykładzie prostego modelu systemu złożonego z generatora synchronicznego połączonego z siecią sztywną poprzez linię o reaktancji x. W modelu tym uwzględnia się tylko równania ruchu wirnika, natomiast pomija wszystkie układy regulacji. Schemat przedstawiono na rys. 2.

Równanie ruchu wirnika generatora w jednostkach względnych ma postać:

Wzór 3

gdzie:

T_m – mechaniczna stała czasowa,

P_m – moc mechaniczna generatora,

D – współczynnik oporu,

P_e(δ) – moc elektryczna generatora,

δ – kąt obrotu osi wirnika generatora względem osi SEE,

ω – częstotliwość kątowa generatora,

ω₀ – częstotliwość kątowa sieci.

Moc elektryczna oddawana do SEE wynosi:

Wzór 4

gdzie:

U_a – składowa wzdłuż osi a napięcia sieci w układzie (a, b) (przyjęto, że Ub = 0),

E_f – napięcie wzbudzenia,

x_d – reaktancja synchroniczna podłużna,

x – reaktancja linii.

Rys. 3. Punkty stałe równania (3) w stanie ustalonym (d · = 0, ω· = 0); rys. O. Małyszko

Model składa się tylko z dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu, jednak z uwagi na składnik sin(d) jest on nieliniowy, a tym samym nierozwiązywalny analitycznie.

W stanie ustalonym częstotliwość kątowa generatora jest równa częstotliwości sieci (ω = ω₀), natomiast moc mechaniczna pochodząca od turbiny jest równa mocy elektrycznej oddawanej do sieci (P_m = P_e). Pokazano to na rys. 3. Wynika z tego, że równanie (3) ma dwa punkty stałe.

Zgodnie z pierwszą metodą Lapunowa układ nieliniowy opisany równaniem będzie stabilny asymptotycznie w lokalnym otoczeniu punktu pracy y₀, jeśli jego przybliżenie liniowe (gdzie A jest to macierz Jacobiego określona w punkcie y₀) będzie stabilne asymptotycznie. Jeśli przybliżenie liniowe jest niestabilne, to układ nieliniowy jest również niestabilny. Natomiast jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to o zachowaniu się układu nieliniowego nie można nic powiedzieć.

Układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność zależy jedynie od wartości własnych macierzy A i nie zależy od warunków początkowych y₀.

Wartości własne macierzy A wyznacza się rozwiązując równanie det, gdzie są to wartości własne, a I – macierz jednostkowa.

Dla równania (3) Jacobian ma postać:

Wzór 5

Natomiast wartości własne otrzymuje się rozwiązując równanie:

Wzór 6

Wartości własne zlinearyzowanego układu równań (3) wynoszą zatem:

Wzór 7

Tab. 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3)

W tab. 2. zestawiono rodzaje występujących punktów stałych równania (3) w zależności od wartości kąta δ oraz parametrów systemu.

Zgodnie z tab. 2. punkt stały leżący w przedziale jest punktem stałym stabilnym, natomiast drugi punkt leżący w przedziale jest to punkt stały niestabilny.

W punkcie krytycznym następuje bifurkacja siodło-węzeł. Jeśli moc mechaniczna P_m przekroczy maksymalną wartość mocy elektrycznej P_e, jaką można przesłać do systemu (P_m > P_e(δ)_max = P_e(δ_m)), wówczas znikają oba punkty stałe i układ traci stabilność.

Zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej, w zakresie stabilnej pracy (czyli tam, gdzie istnieją oba punkty stałe) wykładniki Lapunowa przyjmują wartości ujemne, natomiast w punkcie bifurkacji największy wykładnik przyjmuje wartość równą zero. Tę zmianę wartości wykładnika można użyć jako kryterium stabilności analizowanego układu. Pokazano to na rys. 4. i rys. 5., na których widać największy wykładnik Lapunowa w zależności od wartości reaktancji linii łączącej generator z siecią sztywną oraz mocy mechanicznej P_m.

Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x; rys. O. Małyszko

Rys. 5. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości mocy mechanicznej Pm; rys. O. Małyszko

Na obydwu rysunkach widać, że po przekroczeniu pewnej wartości parametru kontrolnego (reaktancji linii na rys. 4. i mocy mechanicznej na rys. 5.) układ tracił stabilność. W punkcie bifurkacji znikają oba punkty stałe.

W praktyce, dla kontroli stabilności systemu wystarczy monitorować wartość wykładnika Lapunowa. Zbliżanie się jego wartości do zera jest sygnałem o możliwej utracie stabilności przez system.

Dla określenia odległości od granicy stabilności wprowadza się współczynnik zapasu stabilności k_p (8):

Wzór 8

gdzie:

– moc graniczna.

Dla otrzymanych wyników wyznaczono współczynnik korelacji między największym wykładnikiem Lapunowa (rys. 5.) a wartością współczynnika zapasu stabilności k_p i otrzymano wartość ρ(λ, k_p) = –0,954. Wysoka wartość współczynnika korelacji świadczy o dużej zależności między wykładnikiem Lapunowa a współczynnikiem zapasu stabilności.

Wnioski

W artykule przedstawiono propozycję wykorzystania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego. Metodę przedstawiono na przykładzie prostego modelu fragmentu systemu złożonego z generatora przyłączonego do sieci sztywnej. Otrzymane wyniki świadczą, że wykładnik Lapunowa jest skorelowany ze współczynnikiem zapasu stabilności układu. Ponieważ wykładniki Lapunowa mogą być wyznaczane również z danych pomiarowych, istnieje możliwość wykorzystania przedstawionej metody do kontroli „online” zapasu stabilności w systemie.

Literatura

P. Bryant, Computation of Lyapunov Exponents from Experimental Data, Proceedings of the 1st Experimental Chaos Conference, Arlington, Virginia, October 1-3, 1991.
A. G. Darbyshire, Calculating Liapunov Exponents from a Time Series, IEE, Savoy Place, London, 1994.
T. S. Parker, L. O. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, Springer-Verlag, New York 1989.
T.S. Parker, L.O. Chua, Chaos: A Tutorial for Engineers, Proceedings of the IEEE, Special issue on chaotic systems, 09.1987.
A. Wolf, J. Swift, H. Swinney, J. Vastano, Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Physica D, vol. 16, 1985, pp. 285-317.

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!

tagi:

wykładniki Lapunowa sieci elektroenergetyczne

Galeria zdjęć

Tytuł

przejdź do galerii

dr inż. Andrzej Książkiewicz - Astat Sp. z o.o. Stacjonarny analizator PQI-DA Smart – niezawodne narzędzie do monitorowania i rejestracji zakłóceń w sieciach elektroenergetycznych

Stacjonarny analizator PQI-DA Smart – niezawodne narzędzie do monitorowania i rejestracji zakłóceń w sieciach elektroenergetycznych

Współczesne sieci elektroenergetyczne – zarówno publiczne, jak i przemysłowe – stawiają czoła rosnącym wyzwaniom związanym z jakością energii elektrycznej. Dynamiczny rozwój odnawialnych źródeł energii, elektromobilności oraz urządzeń energoelektronicznych powoduje wzrost zjawisk zakłócających, takich jak poziom harmonicznych, asymetria napięć, migotanie światła czy wahania napięcia. W odpowiedzi na te wyzwania firma A. Eberle proponuje stacjonarny analizator PQI-DA Smart – urządzenie, które przeobraża...

dr hab. inż. Andrzej Ł. Chojnacki Modele matematyczne funkcji niezawodnościowych napowietrznych linii dystrybucyjnych 110 kV, SN oraz nn

Modele matematyczne funkcji niezawodnościowych napowietrznych linii dystrybucyjnych 110 kV, SN oraz nn

Problem niezawodności urządzeń elektroenergetycznych jest bardzo ważny ze względu na pewność dostaw energii elektrycznej do znacznej grupy jej odbiorców. W wielu przypadkach przerwy w dostawie energii stwarzają realne zagrożenie dla życia lub zdrowia ludzkiego, np. w przypadku osób korzystających z profesjonalnej aparatury medycznej podtrzymującej życie. Stałe więc nadzorowanie pracy sieci elektroenergetycznych oraz analiza awarii w nich występujących są konieczne, aby ustalić metody właściwej eksploatacji...

dr inż. Aleksander Lisowiec, mgr inż. Jerzy Chudorliński Pomiary w sieciach elektroenergetycznych z wysokim udziałem OZE – wyzwania i trendy

Pomiary w sieciach elektroenergetycznych z wysokim udziałem OZE – wyzwania i trendy

Sieci dystrybucyjne o dużym nasyceniu OZE charakteryzują się częstymi zmianami wielkości i kierunku przepływu energii w gałęziach, co wynika z zależności produkcji energii przez OZE od warunków pogodowych. Operatorzy sieci dystrybucyjnych dążą do zapewnienia stabilności pracy sieci oraz bezprzerwowych dostaw energii elektrycznej o właściwych parametrach jakościowych odbiorcom. Ze względu na konieczność uniezależnienia się od kopalnianych źródeł energii należy dążyć również do maksymalizacji produkcji...

dr inż. Aleksander Lisowiec, mgr inż. Jerzy Chudorliński Konwertery jako narzędzie stabilizacji sieci elektroenergetycznej

Konwertery jako narzędzie stabilizacji sieci elektroenergetycznej

W artykule opisano rolę konwerterów stabilizujących sieć elektroenergetyczną, tzw. GFM (ang. Grid ForMing Converters), w transformacji energetycznej polegającej na przejściu od sieci z dominującym udziałem generatorów napędzanych paliwami kopalnymi do sieci z wyłącznym lub dominującym udziałem źródeł odnawialnych. Przedstawiono podstawowe cechy konwerterów GFM oraz różnice między konwerterami GFM a konwerterami GFL (ang. Grid FoLlowing Converters) – te ostatnie były powszechnie i nadal są stosowane...

dr hab. inż. Sławomir Bielecki, Dominik Krasnodębski Usługi elastyczności w sieciach dystrybucyjnych – wdrożenie w Polsce

Usługi elastyczności w sieciach dystrybucyjnych – wdrożenie w Polsce

Usługi elastyczności to działania podejmowane przez użytkowników systemu (wytwórców, odbiorców, magazynów energii) lub agregatorów, świadczone na rzecz OSD, w celu zapewnienia bezpieczeństwa i zwiększenia efektywności rozwoju systemu dystrybucyjnego, w tym w szczególności do zarządzania ograniczeniami sieciowymi. Zakres ten nie obejmuje koordynowanej sieci 110 kV. Rynek usług elastyczności ma więc charakter lokalny i dotyczy sieci dystrybucyjnych. Definicja usług elastyczności znajduje się w Prawie...

mgr inż. Zbigniew Kończak Rzeczywistość organizacyjna i prawna usuwania awarii napowietrznych linii elektroenergetycznych WN i NN

Rzeczywistość organizacyjna i prawna usuwania awarii napowietrznych linii elektroenergetycznych WN i NN

Jedną z najczęstszych przyczyn awarii napowietrznych linii elektroenergetycznych (NLE) WN (110 kV) jest przewracanie się drzew porastających w pobliżu [1]. Masa opadającego drzewa, rozpędzona oddziaływaniem wiatru i przyspieszeniem ziemskim, napiera dynamicznie na przewody. Takie dodatkowe obciążenie prowadzi do przekroczenia nośności konstrukcji podtrzymujących przewody.

mgr inż. Zbigniew Kończak Przesył energii elektrycznej prądem stałym linią napowietrzną wysokiego napięcia

Przesył energii elektrycznej prądem stałym linią napowietrzną wysokiego napięcia

Wygaszanie starych elektrowni węglowych, budowa nad Bałtykiem oraz na samym Morzu Bałtyckim farm wiatrowych, a także plany wybudowania w tym rejonie Polski elektrowni atomowej spowodują potrzebę przesyłu energii elektrycznej z nowych źródeł na południe kraju. Dlatego operator elektroenergetycznej sieci przesyłowej planuje jej rozbudowę z wykorzystaniem linii prądu stałego HVDC (High Voltage Direct Current).

Komentarze

Najnowsze produkty i technologie

TM TECHNOLOGIE Sp. z o.o. Monitoring oświetlenia awaryjnego w wieloobiektowym kompleksie

Monitoring oświetlenia awaryjnego w wieloobiektowym kompleksie

W dużym kompleksie biurowym wyzwaniem nie jest wyłącznie dobór i rozmieszczenie opraw oświetlenia awaryjnego. Równie ważne jest to, jak cały system będzie kontrolowany i obsługiwany przez kolejne lata.

ETI Polam Sp. z o.o. Elektrotermiczne mechanizmy działania wyzwalacza przeciążeniowego MCB

Elektrotermiczne mechanizmy działania wyzwalacza przeciążeniowego MCB

Wyłącznik nadprądowy MCB należy do najbardziej rozpowszechnionych aparatów ochronnych w instalacjach niskiego napięcia. Jego zadanie wydaje się proste: bezpiecznie przewodzić prąd roboczy, a w razie przeciążenia lub zwarcia samoczynnie odłączyć obwód. W praktyce wewnątrz niewielkiej obudowy musi jednak współdziałać kilka zjawisk fizycznych: przepływ prądu, wydzielanie ciepła, odkształcenie bimetalu, praca mechanizmu zapadkowego, ruch styków i proces gaszenia łuku. Ochrona przeciążeniowa nie jest...

APATOR SA Stabilność, oszczędność i niezależność energetyczna z wykorzystaniem magazynów energii

Stabilność, oszczędność i niezależność energetyczna z wykorzystaniem magazynów energii

Polska energetyka znajduje się w punkcie zwrotnym. Dynamiczny przyrost mocy z odnawialnych źródeł energii (OZE) wymusza ewolucję systemu z modelu pasywnego w kierunku inteligentnego i elastycznego smart grid. Dodatkowo wysokie koszty energii oraz rosnąca zmienność cen na rynku powodują, że przedsiębiorstwa coraz częściej poszukują rozwiązań zapewniających stabilność i przewidywalność działania. W tej układance magazynowanie energii staje się warunkiem koniecznym dla zachowania bezpieczeństwa energetycznego...

Redakcja Elektro.info.pl Firma eMKa zaprasza na szkolenia zawodowe

Firma eMKa zaprasza na szkolenia zawodowe

Firma eMKa Szkolenia to dostawca usług edukacyjnych z 19-letnim doświadczeniem. Specjalizujemy się w podnoszeniu kwalifikacji zawodowych osób dorosłych i współpracujemy w sektorze B2B (fabryki, korporacje, sieci wielkopowierzchniowe etc. ), jednak zaopiekujemy się każdym klientem – nawet tym najmniejszym.

SONEL S.A. Precyzyjna lokalizacja doziemień przy wykorzystaniu Ramki A od Sonel

Precyzyjna lokalizacja doziemień przy wykorzystaniu Ramki A od Sonel

Uszkodzenie izolacji kabli nn i SN w gęsto uzbrojonym terenie oznacza ryzyko kosztownych, nietrafionych wykopów. Odpowiedzią na to wyzwanie jest Ramka A LKR-2500 od Sonel. Dzięki cyfrowemu wsparciu operatora narzędzie to pozwala na precyzyjne wyznaczanie miejsc uszkodzeń i rewolucjonizuje współczesną diagnostykę kablową.

ESC Spółka Akcyjna Drukarka fiskalna online: kto musi ją mieć i czym różni się od starszych modeli?

Drukarka fiskalna online: kto musi ją mieć i czym różni się od starszych modeli?

Drukarka fiskalna online rejestruje sprzedaż i automatycznie przesyła dane do Centralnego Repozytorium Kas, dzięki czemu przedsiębiorca ma mniej formalności niż przy starszych urządzeniach. W artykule wyjaśniamy, czym jest drukarka fiskalna online i czym różni się od starszych modeli oraz od kasy fiskalnej, kto musi ewidencjonować sprzedaż, jak urządzenie łączy się z CRK i systemem POS, jak skorzystać z ulgi na zakup oraz jakie obowiązki wiążą się z jego używaniem.

Sferis.pl Wybór nowego laptopa dla ucznia szkoły technicznej

Wybór nowego laptopa dla ucznia szkoły technicznej

Definicja komputera do nauki zmienia się wraz z rozwojem technologii. Obecnie wykorzystywane przez uczniów i nauczycieli sprzęty różnią się możliwościami od tego, co wystarczało jeszcze kilka lat temu. Wynika to przede wszystkim z faktu, że oprócz uruchamiania edytora tekstu, przeglądarki internetowej czy spotkań online, komputery wykorzystywane są do AI, multimediów i gier.

Erdol Haus Instalacje elektryczne w domu modułowym – co warto wiedzieć przed budową?

Instalacje elektryczne w domu modułowym – co warto wiedzieć przed budową?

Instalację elektryczną w domu prefabrykowanym najlepiej zaplanować przed produkcją elementów. Na tym etapie można uzgodnić położenie gniazd, oświetlenia i urządzeń z konstrukcją ścian oraz pozostałymi instalacjami. Projekt obejmuje także zapotrzebowanie na energię, ochronę użytkowników i sposób prowadzenia przewodów. Wczesne ustalenia pomagają uniknąć przeróbek gotowych przegród i przygotować dom do późniejszej rozbudowy.

Firma Handlowa Elektryk Sp. z o.o. Kompensator SVG w instalacji nn obiektu z fotowoltaiką – kiedy regulacja falownika nie zdejmuje opłaty za energię bierną?

Kompensator SVG w instalacji nn obiektu z fotowoltaiką – kiedy regulacja falownika nie zdejmuje opłaty za energię bierną?

Falownik z aktywną charakterystyką Q(U) nadal zostawia na fakturze pozycję za energię bierną. Reguluje napięcie w miejscu przyłączenia, a nie bilans, który operator rozlicza na liczniku. W obiekcie NN...

PRYSMIAN POLSKA Dym może być groźniejszy niż ogień. Co ma do tego instalacja kablowa?

Dym może być groźniejszy niż ogień. Co ma do tego instalacja kablowa?

Felicity Polska Pożar magazynu energii? Zanim obwinisz baterię, sprawdź przewody

Pożar magazynu energii? Zanim obwinisz baterię, sprawdź przewody

„Pożar domu jednorodzinnego. Zapalił się magazyn energii”. Takie nagłówki pojawiają się w mediach coraz częściej i za każdym razem wywołują to samo pytanie: czy baterie litowe w domu są bezpieczne? Odpowiedź jest mniej sensacyjna niż nagłówek. Nowoczesny magazyn energii ma kilka warstw zabezpieczeń, które reagują, zanim zrobi się groźnie. Gdy dochodzi do pożaru, przyczyną nierzadko okazuje się nie sama bateria, lecz sposób, w jaki została podłączona. Czasem wystarczy jeden przewód mniej.

Finder Polska Sp. z o.o. news Finder Polska świętował 10-lecie na targach ENERGETAB 2026

Finder Polska świętował 10-lecie na targach ENERGETAB 2026

Podczas targów ENERGETAB 2026 firma Finder Polska zaprezentowała swoje najnowsze rozwiązania z zakresu automatyki i zarządzania energią, m.in. programowalny przekaźnik OPTA oraz jego premierowe zastosowania. Targi były też okazją do świętowania – w tym roku Finder Polska obchodzi 10-lecie działalności!

MARITEX Leszek Łosin Sp. j. Cewki SMD w projektowaniu PCB – jak dobrać indukcyjność do aplikacji?

Cewki SMD w projektowaniu PCB – jak dobrać indukcyjność do aplikacji?

Cewki SMD trafiają dziś niemal na każdą płytkę drukowaną – pracują w przetwornicach DC/DC, filtrach przeciwzakłóceniowych i obwodach sygnałowych. Mimo to projektanci nierzadko dobierają je „na oko”, kierując się samą indukcyjnością. Tymczasem o poprawnej pracy układu decyduje kilka parametrów naraz, a pominięcie któregokolwiek z nich potrafi zepsuć dopracowany projekt.

APATOR SA SPV RM – regulator parku energii z funkcją strażnika mocy dla nowoczesnej generacji rozproszonej

SPV RM – regulator parku energii z funkcją strażnika mocy dla nowoczesnej generacji rozproszonej

Rosnący udział odnawialnych źródeł energii w systemie elektroenergetycznym sprawia, że coraz większego znaczenia nabiera nie tylko sama produkcja energii, ale również jej bezpieczne, przewidywalne i zgodne z wymaganiami operatorów zarządzanie. Farmy fotowoltaiczne, turbiny wiatrowe, instalacje biogazowe czy układy przemysłowe typu „zero eksport” wymagają dziś rozwiązań, które pozwalają kontrolować parametry pracy źródeł, ograniczać moc oddawaną do sieci oraz zapewniać skuteczną komunikację z systemami...

Relpol S.A. Stoisko Relpolu na Energetab 2026 było oblegane przez zwiedzających

Stoisko Relpolu na Energetab 2026 było oblegane przez zwiedzających

Na targach w Bielsku-Białej firma Relpol prezentowała nowoczesne urządzenia pomiarowe oraz rozwiązania wspierające zarządzanie energią. Ale stoisko Relpolu cieszyło się dużym zainteresowaniem nie tylko z powodu oferty produktowej – poza klientami i partnerami biznesowymi chętnie odwiedzali je też... amatorzy tostów i darta.

Armac Sp. z o.o. news ARMAC pokazał na targach ENERGETAB swoje nowe UPS-y o mocy 6 i 10 kVA

ARMAC pokazał na targach ENERGETAB swoje nowe UPS-y o mocy 6 i 10 kVA

Polska marka Armac brała udział w 39. edycji targów ENERGETAB w Bielsku-Białej, gdzie promowała swoje najnowsze rozwiązania z zakresu zasilania awaryjnego, w tym zasilacze UPS o mocy do 6 kVA i 10 kVA...

ELEKTROMETAL SA news Setki osób odwiedziło stoisko Elektrometal S.A. podczas ENERGETAB 2026

Setki osób odwiedziło stoisko Elektrometal S.A. podczas ENERGETAB 2026

Elektrometal S.A. prezentował w Bielsku-Białej m.in. specjalistyczne oprawy oświetleniowe ewakuacyjne i do stref zagrożonych wybuchem. Mimo dość trudnej sytuacji na rynku, stoisko Elektrometalu odwiedziło...

dr inż. Andrzej Książkiewicz - Astat Sp. z o.o. Wykorzystanie magazynów energii w obiektach przemysłowych i usługowych

Wykorzystanie magazynów energii w obiektach przemysłowych i usługowych

Bateryjne magazyny energii stanowią efektywne rozwiązanie problemu niezgodności profili generacji i zużycia w obiektach przemysłowych i usługowych. Zwiększają wykorzystanie energii z instalacji fotowoltaicznych do maksymalnego stopnia, ograniczają moc szczytową, istotnie redukują koszty oraz poprawiają stabilność zasilania, bezpieczeństwo i ciągłość produkcji oraz możliwość pracy w trybie zasilania awaryjnego. Dostępne są jako zewnętrzne rozdzielnice lub kontenery dla większych mocy.

dr inż. Andrzej Książkiewicz - Astat Sp. z o.o. Stacjonarny analizator PQI-DA Smart – niezawodne narzędzie do monitorowania i rejestracji zakłóceń w sieciach elektroenergetycznych

Stacjonarny analizator PQI-DA Smart – niezawodne narzędzie do monitorowania i rejestracji zakłóceń w sieciach elektroenergetycznych

www.morele.net Zasilacze komputerowe – jak dobrać moc i zabezpieczenia do nowoczesnego PC?

Zasilacze komputerowe – jak dobrać moc i zabezpieczenia do nowoczesnego PC?

Składając nowy komputer, łatwo dać się ponieść emocjom i wydać lwią część budżetu na potężną kartę graficzną czy szybki procesor. Zasilacz? Często ląduje w koszyku na samym końcu, wybierany "po taniości". To błąd, który w najlepszym razie kończy się nagłymi resetami systemu, a w najgorszym – dosłownym spaleniem drogich podzespołów. Zasilacz to serce całego PC. Zobacz, jak mądrze dobrać jego moc do nowoczesnego sprzętu i na jakie zabezpieczenia zwrócić uwagę, by zyskać pancerne bezpieczeństwo i absolutny...

DEHN POLSKA sp. z o.o. Skuteczność zintegrowanych systemów ochrony przed przepięciami o częstotliwości sieciowej (POP) w instalacjach niskiego napięcia

Skuteczność zintegrowanych systemów ochrony przed przepięciami o częstotliwości sieciowej (POP) w instalacjach niskiego napięcia

Powszechna obecność wrażliwych urządzeń elektronicznych we współczesnych instalacjach niskiego napięcia modyfikuje wymagania w zakresie ich ochrony. Podczas gdy zagrożenia wywołane przejściowymi wyładowaniami atmosferycznymi są powszechnie uwzględniane w procesach projektowych, poważny problem eksploatacyjny stanowią długotrwałe wzrosty napięcia o częstotliwości sieciowej. Tradycyjne ograniczniki chroniące przed przepięciami atmosferycznymi i łączeniowymi (SPD) okazują się wobec nich nieskuteczne....

Nexans Power Accessories Poland Sp. z o.o. Nexans Power Accessories pokaże swoje rozwiązania na targach ENERGETAB 2026

Nexans Power Accessories pokaże swoje rozwiązania na targach ENERGETAB 2026

Nexans Power Accessories Poland Sp. z o.o. jest cenionym dostawcą prefabrykowanych akcesoriów i osprzętu kablowego niskiego, średniego i wysokiego napięcia. Swoje najlepsze rozwiązania firma zaprezentuje...

HYBRYD Sp.z o.o. Na czym polega przegląd oświetlenia awaryjnego i co musi być sprawdzone?

Na czym polega przegląd oświetlenia awaryjnego i co musi być sprawdzone?

Sprawne oświetlenie awaryjne ma zapewnić bezpieczną ewakuację w przypadku zaniku zasilania. Aby system działał prawidłowo w sytuacji zagrożenia, konieczne jest jego regularne sprawdzanie. Taki przegląd obejmuje ocenę stanu technicznego instalacji, testy działania oraz weryfikację dokumentacji, dzięki czemu można wykryć usterki, zanim wpłyną na bezpieczeństwo użytkowników obiektu.

INNPRO Robert Błędowski Sp. z o.o. Ciepło ucieka przez okno, a rachunek rośnie. Jak ograniczyć straty w wynajmowanym apartamencie?

Ciepło ucieka przez okno, a rachunek rośnie. Jak ograniczyć straty w wynajmowanym apartamencie?

Zimowy dzień, temperatura spada poniżej zera, a Ty wchodzisz do apartamentu tuż po wyjeździe gości – w sypialni otwarte na oścież okno i rozgrzany grzejnik. Konsekwencje pojawią się później, gdy zostaniesz obciążony rachunkiem za prąd. Możesz oczywiście przypominać o wyłączaniu ogrzewania na czas wietrzenia, dopisać kolejną zasadę do regulaminu czy umieścić wskazówkę przy oknie. Nie każda osoba podczas kilkudniowego pobytu będzie jednak pamiętać o wszystkich zaleceniach gospodarza. A co, gdyby ogrzewanie...

Relpol S.A. Relpol na Energetab 2026

Relpol na Energetab 2026

Zapraszamy do hali A, na stoisko nr 10, gdzie będzie można po raz pierwszy poznać najnowsze propozycje Relpol przygotowane z myślą o nowoczesnych instalacjach elektrycznych.

Impakt S.A. ARMAC rozwija ofertę zasilania awaryjnego. Nowe UPS-y 6 i 10 kVA na targach ENERGETAB

ARMAC rozwija ofertę zasilania awaryjnego. Nowe UPS-y 6 i 10 kVA na targach ENERGETAB

ARMAC to polska marka specjalizująca się w rozwiązaniach służących ochronie i stabilizacji zasilania urządzeń elektrycznych, a jej oferta obejmuje zasilacze awaryjne UPS, akumulatory, moduły bateryjne oraz urządzenia ochrony przeciwprzepięciowej przeznaczone zarówno dla użytkowników domowych, jak i odbiorców biznesowych. Marka koncentruje się na tworzeniu kompatybilnych rozwiązań, z których można budować systemy ochrony energetycznej dostosowane do konkretnych zastosowań.

ZnakDirect sp. z o.o. Znak Direct – znaczniki kablowe i inne oznakowania projektowane online

Znak Direct – znaczniki kablowe i inne oznakowania projektowane online

Czytelne i trwałe oznakowanie urządzeń, przewodów, kabli, szaf sterowniczych oraz elementów instalacji ma duże znaczenie dla bezpieczeństwa pracy, sprawnego montażu i późniejszej obsługi technicznej. Firma Znak Direct oferuje szeroki wybór tabliczek, oznaczników, naklejek i znaków przeznaczonych dla przemysłu, elektroinstalatorów, automatyków, producentów maszyn oraz wykonawców instalacji technicznych.

APATOR SA Energia pod pełną kontrolą

Energia pod pełną kontrolą

Farma fotowoltaiczna jest dziś często punktem wyjścia do inwestycji w odnawialne źródła energii. Po uruchomieniu szybko okazuje się jednak, że sama produkcja energii nie przesądza jeszcze o efektywności przedsięwzięcia. Źródło musi bezpiecznie współpracować z siecią, reagować na warunki w punkcie przyłączenia, uwzględniać profil odbioru i możliwości magazynowania energii. Coraz większe znaczenie ma więc nie tylko moc zainstalowana, lecz także zdolność do zarządzania całym układem.

Zakład Elektroniczny „POLLIN” Wojciech Polak Ciągłość zasilania w rozdzielnicy – jak uniknąć kosztownych błędów

Ciągłość zasilania w rozdzielnicy – jak uniknąć kosztownych błędów

Awaria zasilania nie zawsze oznacza całkowity brak napięcia – często problem jest znacznie bardziej złożony. Dowiedz się, czym różnią się urządzenia AZF, SZR, WN, WP i KSB oraz kiedy ich zastosowanie naprawdę ma sens. W artykule pokazujemy, jak właściwy dobór aparatury skraca czas diagnostyki, ogranicza przestoje i zwiększa niezawodność rozdzielnicy. To praktyczny przewodnik dla projektantów, instalatorów i wszystkich odpowiedzialnych za ciągłość zasilania.

Ei Electronics Sp. z o. o. Certyfikat CNBOP-PIB dla instalatorów czujników. Trwają zapisy na kolejne edycje szkoleń

Certyfikat CNBOP-PIB dla instalatorów czujników. Trwają zapisy na kolejne edycje szkoleń

Po trzech z dziewięciu zaplanowanych na 2026 rok edycji ogólnopolskiego programu certyfikowanych szkoleń dla instalatorów autonomicznych czujników dymu, tlenku węgla, gazu i ciepła, organizatorzy udostępniają kolejne terminy. Do końca roku odbędzie się jeszcze sześć edycji. Każda zakończy się walidacją przeprowadzoną przez CNBOP-PIB, a uczestnicy, którzy pomyślnie przejdą egzamin, otrzymają certyfikat potwierdzający zdobyte kwalifikacje.

Definicja wykładników Lapunowa

Liczba wykładników Lapunowa

Zastosowanie wykładników Lapunowa do klasyfikacji układów dynamicznych

Wyznaczanie wykładników Lapunowa

Zastosowanie wykładnika Lapunowa jako kryterium stabilności SEE

Wnioski

Literatura

tagi:

POLECAMY

CIEKAWE STRONY