Błędy pomiaru mocy i energii w układach z przekładnikami napięciowymi i prądowymi
Układ do pomiaru energii elektrycznej z wykorzystaniem pojedynczego przekładnika prądowego i napięciowego
Przekładniki są powszechnie stosowane w pomiarach prądów i napięć, których wartości uniemożliwiają bezpośrednie podłączenie aparatury pomiarowej. Niekiedy używa się ich też w sytuacji, gdy wymagana jest separacja galwaniczna aparatury pomiarowej i obiektu. O ile sposób wykorzystania przekładników prądowych i napięciowych jest powszechną wiedzą wśród inżynierów elektryków, to wiedza dotycząca niepewności pomiarów wykonywanych z użyciem przekładników jest znacznie mniej rozpowszechniona.
Zobacz także
mgr inż. Grzegorz Loska Zmiany wartości pomiarowej impedancji pętli zwarcia w rzeczywistych niskonapięciowych sieciach IT
Przy pomiarach impedancji pętli zwarcia w przemysłowych, niskonapięciowych sieciach IT występuje wiele czynników wpływających na dokładność pomiarów. Wartości wyznaczonych pomiarowo impedancji pętli zwarcia...
Przy pomiarach impedancji pętli zwarcia w przemysłowych, niskonapięciowych sieciach IT występuje wiele czynników wpływających na dokładność pomiarów. Wartości wyznaczonych pomiarowo impedancji pętli zwarcia są często znacząco różne od wartości otrzymanych na podstawie obliczeń. Mają na to wpływ czynniki związane z zastosowaną metodą pomiarową (sposób uziemienia na czas pomiarów punktu neutralnego transformatora zasilającego), a także konfiguracja samej sieci IT, w której wykonujemy pomiary, oraz...
mgr inż. Roman Domański Metody pomiaru rezystancji uziemienia (część 2.)
Opisane w pierwszej części artykułu („elektro.info” 11/2025) założenia teoretyczne znajdują swoje odzwierciedlenie w szeregu praktycznych metod pomiarowych, zaimplementowanych w nowoczesnych przyrządach....
Opisane w pierwszej części artykułu („elektro.info” 11/2025) założenia teoretyczne znajdują swoje odzwierciedlenie w szeregu praktycznych metod pomiarowych, zaimplementowanych w nowoczesnych przyrządach. Wybór odpowiedniej metody zależy od rodzaju i rozległości badanego systemu uziemiającego oraz warunków terenowych.
mgr inż. Roman Domański Metody pomiaru rezystancji uziemienia (część 1.): rodzaje, zastosowania oraz cechy charakterystyczne
Prawidłowo zaprojektowany i wykonany system uziemiający stanowi fundamentalny element zapewnienia bezpieczeństwa oraz niezawodności funkcjonowania instalacji i urządzeń elektrycznych. Jego skuteczność...
Prawidłowo zaprojektowany i wykonany system uziemiający stanowi fundamentalny element zapewnienia bezpieczeństwa oraz niezawodności funkcjonowania instalacji i urządzeń elektrycznych. Jego skuteczność jest weryfikowana poprzez okresowe pomiary rezystancji uziemienia, które pozwalają na ocenę poziomu ochrony przeciwporażeniowej, ochrony odgromowej i przepięciowej. Zgodność z wymaganiami technicznymi norm jest kluczowa dla bezpiecznej eksploatacji obiektów budowlanych. Pomimo obligatoryjnego charakteru...
Celem artykułu jest przybliżenie kwestii związanych z niepewnością pomiaru mocy i energii elektrycznej z wykorzystaniem przekładników. Omówiony zostanie sposób szacowania względnego błędu granicznego pomiaru na podstawie znajomości klas zastosowanych przekładników i współpracujących z nimi przyrządów pomiarowych oraz wybranego układu połączeń. Artykuł uzupełniają tabele, umożliwiające szybkie oszacowanie błędu pomiaru mocy i energii dla układu z dwoma i trzema watomierzami, dla najczęściej spotykanych klas przekładników prądowych i napięciowych.
Niepewności pomiaru z użyciem przekładników
Błędy maksymalne przekładników wynikają z ich klasy. Na błąd składają się błąd graniczny amplitudy, podawany w [%], oraz błąd kąta, podawany w minutach kątowych (1 minuta = 1/60 stopnia) bądź centyradianach. Wartości obydwu błędów dla danej klasy można odczytać z norm. W przypadku przekładników prądowych zakres zmian mierzonej wielkości, czyli prądu uzwojenia pierwotnego, jest zazwyczaj duży. Błąd graniczny rośnie wraz ze zmniejszaniem prądu, dlatego stosowne normy podają jego wartości dla różnych wartości prądu uzwojenia pierwotnego (tj. 120%, 100%, 50%, 20%). W przypadku przekładników napięciowych napięcie w normalnym stanie pracy systemu elektroenergetycznego jest na tyle bliskie wartości znamionowej, że nie ma potrzeby podawania kilku wartości błędu granicznego.
Innym ważnym parametrem przekładników jest ich znamionowa moc pozorna. Niepewności wynikające z klasy przekładnika będą dochowane, jeżeli przekładnik obciążony jest mocą od 25% do 100% o indukcyjnym współczynniku mocy równym przynajmniej 0,8. Obciążenie przekładników jest istotne przy wykorzystaniu mierników cyfrowych, które zazwyczaj niewystarczająco obciążają przekładnik, co skutkuje nieznanym wzrostem błędów przetwarzania. Z tego powodu przy stosowaniu mierników cyfrowych należy stosować dodatkowe dwójniki obciążające przekładnik mocą znamionową, przyłączone równolegle do miernika mierzącego napięcie lub szeregowo z miernikiem do pomiaru prądu. Producenci przyrządów pomiarowych często oferują gotowe dwójniki o odpowiednich parametrach.
Kolejnym źródłem niepewności pomiaru z wykorzystaniem przekładnika jest ograniczenie jego pasma przenoszenia. Producenci przekładników podają niepewność tylko dla częstotliwości rzędu 45–65 Hz, nie informując o charakterystyce amplitudowej i fazowej. W praktyce, pasmo przekładnika indukcyjnego jest podobne do pasma stosowanych liczników energii elektrycznej (zarówno indukcyjnych, jak i cyfrowych), czyli jest ograniczone do kilku kHz. Oznacza to, że w pomiarze pomijane są wysokie harmoniczne, jednak ze względu na ich znikomą zawartość w sygnale spowodowane tym błędy są niewielkie. Sytuacja przedstawia się inaczej w przypadku zastosowania przekładnika napięciowego z dzielnikiem pojemnościowym, używanego dla wysokich napięć. Przekładnik taki jest kaskadowym połączeniem dzielnika pojemnościowego i indukcyjnego, przez co jego pasmo jest ograniczone tylko do otoczenia podstawowej harmonicznej. Pomijając możliwość wystąpienia rezonansu (zminimalizowaną przez konstrukcję przekładnika), użycie tego rodzaju przekładnika powoduje stłumienie wyższych harmonicznych, przez co wyznaczona energia czynna może być niższa niż faktycznie przesłana w układzie.
Szczególnie niekorzystne właściwości częstotliwościowe przekładnika mogą wpłynąć na wyniki analizy z wykorzystaniem nowoczesnych cyfrowych analizatorów jakości energii elektrycznej. Urządzenia takie próbkują sygnał z częstotliwością rzędu 10–20 kHz, przez co prowadzą analizę zawartości harmonicznych do częstotliwości 5–10 kHz (100–200 harmonicznych). W połączeniu ze znikomą zawartością harmonicznych tego rzędu tłumienie sygnału przez przekładnik sprawia, że wyniki takiej analizy są mało wiarygodne i powinny być traktowane z dużym dystansem.
Układy pomiaru mocy i energii z wykorzystaniem przekładników – pojedynczy przekładnik prądowy i napięciowy
Układ pomiarowy z jednym przekładnikiem prądowym i napięciowym jest rzadko spotykany w praktyce. Przyczyną jest przyjęte dla tego układu założenie o symetrii, które w praktyce nie jest spełnione, co powoduje wzrost niepewności pomiaru. Mimo to układ został przeanalizowany przez autorów, gdyż jako najprostszy układ do pomiaru energii stanowi dobry punkt wyjścia do dalszych rozważań. Schemat układu z jednym przekładnikiem prądowym i napięciowym przedstawia rysunek 1.
Pomiar napięcia i prądu
Pomiar napięcia i prądu wykonywany jest za pomocą odpowiedniego przyrządu wpiętego w obwód wtórny przekładnika napięciowego lub prądowego. W tym przypadku na wynik nie wpływa błąd kątowy przekładnika, a jedynie jego błąd amplitudowy. Interpretując pomiar z wykorzystaniem woltomierza lub amperomierza, jak mnożenie przez obarczoną niepewnością stałą, graniczny błąd względny pomiaru prądu i napięcia można zapisać jako [1]:
Wzór 1
Wzór 2
gdzie:
δMA i δMV – to względne błędy graniczne pomiaru woltomierzem i amperomierzem,
δTA i δTV – to względne błędy graniczne przetwarzania przekładnikiem prądowym i napięciowym.
W przypadku przekładników można przyjąć w tym miejscu wartość niepewności wynikającą z klasy przyrządu. Podobnie jest w przypadku mierników analogowych, choć należy pamiętać, że przyjęcie klasy jako niepewności jest poprawne tylko wtedy, gdy wskazanie przyrządu jest zbliżone do górnego końca zakresu. Oznacza to, że dla amperomierza należy zachować ostrożność przy szacowaniu niepewności, gdyż dla małych prądów mierzonych jest ona w rzeczywistości znacznie większa niż wynikająca z klasy. Dla mierników cyfrowych należy obliczyć niepewność korzystając z dokumentacji dostarczonej przez producenta.
Przykład 1.
W układzie z rysunku 1. dokonano dwukrotnie pomiaru napięcia i prądu. Zastosowano przekładniki klasy 0,5, amperomierz klasy 1 o zakresie 5 A oraz woltomierz cyfrowy o błędzie granicznym 0,2%±0,05 d, zakresie 200 V i najmniejszej cyfrze wskazania d=0,01 V. Znamionowy prąd strony pierwotnej wynosi 100 A. Przekładnie przekładników: ku=6000 V/100 V oraz ki=100 A/5 A. Wskazania przyrządów wyniosły: U1=98,15 V, I1=4,8 A; U2=32,12 V, I2=0,35 A
Aby obliczyć względne błędy graniczne pomiaru napięć, należy przeliczyć dwuskładnikowy błąd przyrządu cyfrowego na błąd względny graniczny. W tym celu należy pomnożyć drugą składową przez wartość cyfry znaczącej (ostatnia cyfra wskazania) i podzielić ją przez wskazanie, a całość wyrazić w procentach:
Pierwsze dwie składowe obu równań to składowe błędu granicznego woltomierza, a trzecia to błąd graniczny amplitudowy przekładnika. Można zauważyć, że wypadkowy błąd graniczny zależy w pewnym stopniu od wartości wskazywanego napięcia. Przyczyną jest bezwzględna składowa błędu woltomierza. Nieco inaczej sytuacja przedstawia się w przypadku pomiaru prądu. Klasa przyrządu analogowego jest błędem granicznym wyrażonym w procentach zakresu. Oznacza to, że dla użytego w przykładzie amperomierza bezwzględny błąd graniczny wyniesie 0,05 A. Uwzględnić należy również fakt, że w drugim pomiarze mierzony prąd jest mniejszy niż 20% prądu znamionowego, a zatem błąd transformacji prądu przez przekładnik wzrasta. Wzrost niepewności przekładnika z 0,5% do 1% wynika z obciążenia <20% i został odczytany z charakterystyki przekładnika. Błędy względne graniczne należy obliczać odnosząc tę wartość do wskazania:
O ile w pierwszym przypadku pomiar jest dokładny, a błąd graniczny można oszacować sumując klasy przyrządów wyrażone w procentach, to w drugim przypadku pomiar ma jedynie charakter grubego przybliżenia. Przyczyną jest praca obu przyrządów, a przede wszystkim amperomierza, dużo poniżej ich zakresów. Warto zauważyć, że przyrządy cyfrowe są mniej wrażliwe na tego rodzaju błędy. Należy też pamiętać, że wypadkowy błąd graniczny pomiaru napięcia lub prądu przy wykorzystaniu przekładnika jest większy (niekiedy znacznie) od sumy klas przyrządu i przekładnika. W tabeli 1. przedstawiono zależność błędu granicznego od obciążenia dla przykładowego toru pomiaru prądu złożonego z przekładnika klasy 0,2 i dwóch różnych amperomierzy: wskazówkowego kl. 0,5 oraz cyfrowego tablicowego o niepewności 1%±0,01.
Pomiar mocy i energii
Podobnie jak w przypadku pomiaru napięcia i prądu, wskazanie mocy przez watomierz lub jej całkowanie przez licznik energii można przedstawić jako mnożenie przez stałą obarczoną błędem granicznym. W przeciwieństwie do wspomnianych pomiarów, wartość wskazywana lub całkowana ma tutaj charakter złożony. Można ją wyrazić równaniem:
Wzór 3
Aby oszacować błąd graniczny pomiaru mocy i energii, należy najpierw określić błąd wyznaczenia powyższej wartości wynikający z parametrów przekładników, a następnie dodać do niego względny błąd graniczny zastosowanego watomierza lub licznika energii. Błąd graniczny wyznaczenia mocy według wyrażenia (3) zależy zarówno od błędów przekładni, jak i od błędów kątowych przekładników. Ponieważ wyrażenie jest iloczynem trzech składowych, graniczny błąd względny jest sumą ich błędów granicznych:
Wzór 4
W tym przypadku δU=δTV oraz δI=δTA, gdzie δTV oraz δTA są błędami przekładni przekładników. Błąd δcos(φ) wynika z błędów kątowych przekładników. Oznaczając bezwzględne kątowe błędy graniczne przekładników jako ΔΨTV oraz ΔΨTA można go obliczyć następująco:
Wzór 5
Przyjmując sumę granicznyh błędów kątowych przekładników jako α=ΨTV+ΔΨTA można zapisać:
Wzór 6
Błędy kątowe przekładników są rzędu kilkunastu–kilkudziesięciu minut kątowych. Wynika z tego, że współczynnik cos(α) w powyższym równaniu osiąga wartości bliskie 1. Pozwala to uprościć wyrażenie na błąd graniczny cos(α) do postaci:
Wzór 7
Ponieważ kąt α osiąga małe i dodatnie wartości, funkcję sinus można zastąpić funkcją liniową wyrażając niepewności kątowe w radianach, i otrzymując:
Wzór 8
Ostatecznie, graniczny błąd względny wyznaczenia mocy czynnej lub energii można zapisać jako:
Wzór 9
gdzie:
δMW – jest niepewnością względną użytego watomierza lub licznika energii elektrycznej.
Przykład 2.
Błąd graniczny energii w układzie z przekładnikami napięciowym i prądowym klasy 0,2 (błąd przekładni 0,2% i błąd kątowy 10 minut) oraz licznikiem klasy 0,5 wynosi dla cos(φ)=0,95 =>tg(φ)=0,33:
a dla cos(φ)=0,7 =>tg(φ)=1,02:
Jak widać, wartość współczynnika mocy znacząco wpływa na błąd graniczny pomiaru energii; dla cos(φ)=1 ostatni człon równania wyniósłby 0, dając wypadkowy błąd graniczny 0,9%. Jest to wartość niższa od wyznaczonych, jednakże wciąż wyraźnie wyższa od błędów granicznych poszczególnych elementów obwodu pomiarowego.
Trzy przekładniki prądowe i napięciowe
Najbardziej oczywistym rozwinięciem opisanego w poprzednim akapicie układu jest potrojenie go i włączenie po jednym do każdej fazy. Układ taki przedstawiono na rysunku 2.
W układzie tym przekładniki napięciowe po stronie pierwotnej połączone są w gwiazdę. Stronę wtórną również łączy się w gwiazdę, a punkt wspólny uziemia. Z układem współpracuje dedykowany licznik energii elektrycznej, wyposażony w trzy pary obwodów pomiarowych o odpowiednich zakresach. Moc całkowana przez licznik energii elektrycznej wynosi:
Wzór 10
Względny błąd graniczny każdego z powyższych elementów wyznacza się podobnie jak dla pojedynczego układu pomiarowego. Za wyjątkiem układów o znacznej niesymetrii, można przyjąć, że błędy dla każdej fazy są jednakowe, i oznaczyć je:
Wzór 11
Ponieważ moc całkowita P jest wyrażona przez sumę, wypadkowy bezwzględny błąd graniczny jest sumą bezwzględnych błędów granicznych poszczególnych elementów równania:
Wzór 12
zatem φPP jest względnym błędem granicznym wyznaczenia mocy w tym układzie, bez uwzględnienia przyrządu pomiarowego (watomierza lub licznika energii). Błąd graniczny zastosowanego przyrządu dodaje się do granicznego błędu względnego przetwarzania przez przekładniki:
Wzór 13
Jak widać, błąd graniczny dla układu pomiarowego z trzema przekładnikami prądowymi i napięciowymi szacuje się podobnie jak dla układu z jednym przekładnikiem (równanie 9). Można by zatem oczekiwać, że taka sama sytuacja zajdzie dla układu z dwoma przekładnikami. W rzeczywistości dla tego układu sytuacja jest inna.
Dwa przekładniki prądowe i dwa napięciowe (układ Arona)
Układ z dwoma przekładnikami prądowymi i dwoma napięciowymi jest nazywany również układem Arona. Jego schemat przedstawia rysunek 3. Układ ten pozwala na poprawny pomiar mocy i energii w układach trójfazowych bez przewodu neutralnego. Przekładniki prądowe są włączone w dwóch fazach; przekładniki napięciowe są włączone w układzie V i przetwarzają napięcia przewodowe. Układ współpracuje z dedykowanymi licznikami energii elektrycznej, wyposażonymi w dwa obwody pomiarowe.
W porównaniu z poprzednio prezentowanym, w układzie tym oszczędza się na zakupie jednego przekładnika prądowego i jednego napięciowego, choć przekładniki napięciowe muszą mieć izolowane względem ziemi oba końce uzwojenia pierwotnego. Moc czynna całkowana przez licznik energii jest wyrażona wzorem:
Wzór 14
Bezwzględny błąd graniczny bez uwzględnienia parametrów przyrządu pomiarowego jest sumą bezwzględnych błędów granicznych:
Wzór 15
lecz w tym wypadku δP1 i δP3 nie są równe ze względu na różne wypadkowe przesunięcia fazowe występujące na zaciskach mierników – równanie (14).Graniczne błędy względne pomiaru mocy w obydwu obwodach pomiarowych wynoszą:
Wzór 16
Wzór 17
Podstawiając (1) do (15) otrzymujemy:
Wzór 18
a dalej używając przekształceń (5) do (8) otrzymujemy:
Wzór 19
Uwzględniając błąd graniczny przyrządu pomiarowego δMW oraz fakt, że δP=ΔP/(P1+P2), wypadkowy względny błąd graniczny δPK=δMW+δP pomiaru mocy lub energii wyniesie:
Wzór 20
Widać, że na skutek dodatkowego przesunięcia wynikającego z metody pomiaru, błąd względny pomiaru mocy lub energii zależy od różnicy pomiędzy wskazaniami watomierzy, a tym samym od rodzaju obciążenia oraz niesymetrii odbiornika. Dla odbiornika symetrycznego błąd graniczny pomiaru tym układem jest wyższy niż dla trzech przekładników dla cos(φ)>0,9 oraz taki sam w pozostałym zakresie. Wystąpienie asymetrii może spowodować wzrost lub zmniejszenie granicznego błędu pomiaru, w zależności od rodzaju obciążenia i rozłożenia obciążeń faz. Przy asymetriach rzędu kilku procent zmiana błędu granicznego jest na poziomie 0,1%.
Przykład 3.
Parametry obwodu są takie jak w przykładzie 2., jednak tym razem zastosowano układ Arona. Układ jest symetryczny. Względny błąd graniczny dla cos(φ)=0,95 wynosi:
Jest on wyższy o około 0,15% od błędu układu z trzema przekładnikami. Dla cos(φ)=0,7 błąd graniczny wynosi:
Tym razem błąd jest identyczny jak dla trzech przekładników.
Tabele do szacowania niepewności
Zamieszczone w tej części artykułu tabele pozwalają szybko oszacować graniczny błąd pomiaru wybranym układem bez stosowania wcześniej podanych równań. Zawierają one wartości względnych błędów granicznych wyrażonych w procentach. Tabela 2. służy do określania błędu granicznego pomiaru układem z trzema przekładnikami prądowymi i napięciowymi dla różnych wartości cos(φ). Tabela 3. przedstawia błędy graniczne układu Arona. Błąd graniczny odczytuje się z przecięcia wiersza i kolumny dla wybranych klas przekładników i wartości cos(φ). Aby wyznaczyć błąd graniczny całego toru pomiarowego, do wartości pobranej z tabeli należy dodać klasę zastosowanego licznika lub watomierza. Tabele nie uwzględniają przekładników klas S, gdyż obejmują tylko obciążenia powyżej 20% znamionowego. Nie uwzględniono również przekładników zabezpieczeniowych (klasy 10P i 5P), których nie stosuje się do pomiaru energii.
Literatura
- John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, University Science Books, 2nd Edition, 1997.
- John Bird, Electrical circuit theory and technology, Newnes, An imprint of Elsevier Science, Revised 2nd Edition, 2003.
