Pomiary rezystancji – teoria i zastosowania (część 1.)
Mostki stałoprądowe: Wheatstone’a i Thomsona
Mostek Wheatstone'a
https://pl.wikipedia.org/wiki/Mostek_(elektronika)
W artykule zaprezentowano najczęściej spotykane obecnie mostkowe metody pomiaru rezystancji (mostek Wheatstone'a, Thomsona) oraz właściwości i zasady działania przyrządów wykorzystujących te metody. Zaprezentowano także kilka przykładów praktycznych pomiarów rezystancji wykonywanych w instalacjach elektrycznych obiektów budowlanych.
Zobacz także
mgr inż. Grzegorz Loska Zmiany wartości pomiarowej impedancji pętli zwarcia w rzeczywistych niskonapięciowych sieciach IT
Przy pomiarach impedancji pętli zwarcia w przemysłowych, niskonapięciowych sieciach IT występuje wiele czynników wpływających na dokładność pomiarów. Wartości wyznaczonych pomiarowo impedancji pętli zwarcia...
Przy pomiarach impedancji pętli zwarcia w przemysłowych, niskonapięciowych sieciach IT występuje wiele czynników wpływających na dokładność pomiarów. Wartości wyznaczonych pomiarowo impedancji pętli zwarcia są często znacząco różne od wartości otrzymanych na podstawie obliczeń. Mają na to wpływ czynniki związane z zastosowaną metodą pomiarową (sposób uziemienia na czas pomiarów punktu neutralnego transformatora zasilającego), a także konfiguracja samej sieci IT, w której wykonujemy pomiary, oraz...
mgr inż. Roman Domański Metody pomiaru rezystancji uziemienia (część 2.)
Opisane w pierwszej części artykułu („elektro.info” 11/2025) założenia teoretyczne znajdują swoje odzwierciedlenie w szeregu praktycznych metod pomiarowych, zaimplementowanych w nowoczesnych przyrządach....
Opisane w pierwszej części artykułu („elektro.info” 11/2025) założenia teoretyczne znajdują swoje odzwierciedlenie w szeregu praktycznych metod pomiarowych, zaimplementowanych w nowoczesnych przyrządach. Wybór odpowiedniej metody zależy od rodzaju i rozległości badanego systemu uziemiającego oraz warunków terenowych.
mgr inż. Roman Domański Metody pomiaru rezystancji uziemienia (część 1.): rodzaje, zastosowania oraz cechy charakterystyczne
Prawidłowo zaprojektowany i wykonany system uziemiający stanowi fundamentalny element zapewnienia bezpieczeństwa oraz niezawodności funkcjonowania instalacji i urządzeń elektrycznych. Jego skuteczność...
Prawidłowo zaprojektowany i wykonany system uziemiający stanowi fundamentalny element zapewnienia bezpieczeństwa oraz niezawodności funkcjonowania instalacji i urządzeń elektrycznych. Jego skuteczność jest weryfikowana poprzez okresowe pomiary rezystancji uziemienia, które pozwalają na ocenę poziomu ochrony przeciwporażeniowej, ochrony odgromowej i przepięciowej. Zgodność z wymaganiami technicznymi norm jest kluczowa dla bezpiecznej eksploatacji obiektów budowlanych. Pomimo obligatoryjnego charakteru...
Do pomiaru rezystancji stosowane są dwa podstawowe mostki stałoprądowe: Wheatstone’a i Thomsona.
Mostek ten jest historycznie pierwszym mostkiem pomiarowym. Mimo że wprowadzony przez Christiego w 1833 r., został jednak dostosowany do pomiarów w 1853 r. przez C. Wheatstone’a. Pracuje jako mostek czteroramienny (rys. 1.).
W skład mostka wchodzą cztery gałęzie rezystancyjne R1, R2, R3, R4, galwanometr G o rezystancji Rg jako wskaźnik równowagi oraz źródło napięcia U, zasilające mostek. Zazwyczaj w mostkach mierzoną rezystancję Rx umieszcza się w gałęzi pierwszej, a układ doprowadza się do stanu równowagi przez regulację rezystancji R2 lub R4 przy stałych odpowiednio dobranych pozostałych rezystancjach, zwanych opornikami stosunkowymi. Stanem równowagi mostka nazywamy taki stan, w którym napięcie między punktami B, D jest równe zeru, pomimo przyłożenia napięcia U do punktów A i C. Proces doprowadzania do tego stanu nazywamy równoważeniem układu.
Mostek będzie w równowadze, jeśli punkty B i D będą miały te same potencjały, a więc, gdy Ig=0. Aby wyznaczyć warunek równowagi, należy dla obwodu przedstawionego na rysunku 1. określić wyrażenie na prąd Ig. Dokonuje się tego poprzez rozwiązanie zależności dla poszczególnych oczek obwodu według praw Kirchoffa. Przy założeniu, że rezystancja źródła jest równa zeru, wyrażenie to jest następujące:
Wzór 1
Stąd warunek równowagi dla Ig=0 jest:
Wzór 2
a wyrażenie na wartość mierzonej rezystancji Rx:
Wzór 3
W celu uzyskania stanu równowagi można regulować R4 przy stałym stosunku rezystancji R2/R3 przy niezmiennej rezystancji R4.
W mostkach przeznaczonych do pomiarów mniej dokładnych, tzw. mostkach technicznych, odznaczających się prostotą manipulacji, lekkością oraz krótkim czasem potrzebnym do wykonania pomiaru, realizowany jest drugi sposób regulacji. Oporniki R2 i R3 wykonane są wtedy w postaci drutu ślizgowego (manganinowego), a mostek doprowadza się do stanu równowagi przez przesuwanie ruchomego styku po drucie ślizgowym (rys. 2a).
Do dokładniejszych pomiarów przeznaczone są mostki typu laboratoryjnego, w których stosunek rezystancji R2/R3 regulowany jest skokowo, zaś opornik R4 wykonany jest jako dekadowy (rys. 2b).
Podział na mostki laboratoryjne dokładne nie jest zbyt precyzyjny. Mostkami dokładnymi nazywamy takie, w których opornikiem równoważącym jest wielodekadowy opornik dokładny. Natomiast w mostkach technicznych opornikiem równoważącym jest drut ślizgowy. Istnieje ponadto grupa mostków, które pod względem dokładności i właściwości użytkowych zajmują miejsce pośrednie.
Są to mostki o oporniku równoważącym dekadowym i galwanometrze wskazówkowym wbudowanym. Taki mostek można by zaliczyć do mostków dokładnych, gdyby nie to, że ograniczona czułość galwanometrów wskazówkowych uniemożliwia układ o odpowiedniej czułości. Innymi słowy, w mostkach tych błąd nieczułości jest czynnikiem ograniczającym dokładność pomiaru. Dlatego wśród tego rodzaju mostków można spotkać takie, które mają zaciski umożliwiające przyłączenie galwanometru zewnętrznego o odpowiednio dużej czułości.
Ze względu na malejącą czułość pomiaru przy pomiarach dużych rezystancji, a tym samym malejącą dokładność pomiaru, nie stosuje się mostków Wheatstone’a a do pomiaru rezystancji większych od 10 MΩ. Ze względu na zmniejszoną dokładność pomiaru wskutek wpływu rezystancji przewodów doprowadzających do opornika Rx oraz rezystancji styków nie stosuje się mostka Wheatstone’a do pomiarów rezystancji mniejszych od 1 Ω.
Mostek Wheatstone’a może być również stosowany przy zasilaniu ze źródła prądu zmiennego. Nie nadaje się on do pomiarów rezystancji zależnych od napięcia lub natężenia prądu. Dokładność pomiaru rezystancji za pomocą mostka Wheatstone’a zależy od dokładności użytych oporników, wpływu temperatury i sił elektromotorycznych stykowych, wartości rezystancji styków i przewodów doprowadzających, dokładności odczytu oraz czułości układu. Mostek Wheatstone’a zapewnia względną łączną niepewność pomiaru od około 0,001% do około 2%, w zależności od warunków pomiaru i klasy zastosowanych w mostku wzorców.
Mostek Wheatstone’a jest zasadniczo stosowany do pomiarów metodą zerową. Osiągnięcie stanu równowagi stwierdza się obserwując wskaźnik równowagi, który powinien wskazać zero. Jeśli zakłócić stan równowagi zmieniając np. rezystancję Rx, to wskaźnik równowagi odchyli się od położenia zerowego. Doświadczalnie stwierdzono, że dla dostatecznie małych przyrostów rezystancji ΔRx spełniona jest zależność:
Wzór 4
gdzie:
C – stała galwanometru. Oznacza to, że odchylenie wskazówki wskaźnika jest proporcjonalne do zmiany mierzonej rezystancji.
Zastosowanie układu mostkowego do pomiarów metodą odchyłową otworzyło możliwość stosowania go w przypadkach, gdy trzeba zmierzyć małe zmiany rezystancji, bez wyznaczenia jej wartości bezwzględnej, np. przy kontroli rezystancji produkowanych oporników, przy selekcji tych oporników itp.
Niektóre firmy produkują mostki, które w celu ułatwienia pomiaru mają podziałkę wskaźnika równowagi wyskalowaną w procentach. Szczególnie korzystne okazało się zastosowanie metody odchyłowej w pomiarach wielkości nieelektrycznych. Na tej zasadzie pracują np. układy pomiarowe tensometrów, termometrów rezystancyjnych, mierników przesunięcia i innych przyrządów przeznaczonych zarówno do pomiarów laboratoryjnych, jak i przemysłowych. Układ mostkowy pracujący w stanie niepełnego zrównoważenia może być również podstawową częścią układów automatycznego sterowania i regulacji.
Mostek Thomsona
Układ mostkowy Thomsona (rys. 3.) – nazywany również układem podwójnym – powstał jako modyfikacja układu Wheatstone’a – pojedynczego. Polega ona na wprowadzeniu dwóch dodatkowych ramion i ma na celu wyeliminowanie wpływu rezystancji przewodów łączeniowych i styków, a więc umożliwienie pomiaru rezystancji małych, w tym mniejszych od 1 Ω.
W mostku Thomsona znajduje się opornik mierzony, czterozaciskowy R1=Rx i opornik wzorcowy, czterozaciskowy R2=RN. Są to oporniki o małych wartościach rezystancji. Pozostałe oporniki wzorcowe R3, R4, R3, R4 mają stosunkowo duże wartości rezystancji, rzędu 100 Ω. Przez Rz oznaczono rezystancję zwory styków i doprowadzeń pomiędzy punktami A i B. Cechą znamienną mostka Thomsona jest to, że wszystkie inne przewody, których rezystancje mogły mieć wpływ na wynik pomiaru, są włączone w ramiona, w których znajdują się oporniki o dużej rezystancji.
W celu wyznaczenia równowagi dla mostka Thomsona, należy przekształcić ten układ w równoważny w działaniu mostek Wheatstone’a, stosując zmianę układu trójkąta ABC w równoważny układ gwiazdowy. W wyniku takiego przekształcenia można znaleźć wyrażenie na warunek równowagi dla otrzymanego mostka Wheatstone’a, a zakładając ponadto, że spełniona jest zależność:
Wzór 5
rezystancja Rx może być obliczona ze wzoru:
Wzór 6
W praktyce warunek (5) zostaje spełniony przez jednoczesną regulację R4, R’4, które zakłada się o jednakowych wartościach, i oporników R3=R’3. Ewentualne niezamierzone różnice w wartościach R3, R’3, R4, R’4 powodują błędy pomiarowe, tym mniejsze, im mniejsza jest rezystancja zwory Rz. Dlatego należy dążyć do tego, aby rezystancja Rz była jak najmniejsza. Stosuje się w tym celu połączenie punktów A i B za pomocą dostatecznie grubej miedzianej lub mosiężnej zwory. Uzyskuje się w ten sposób niepewność pomiarową łączną, nieprzekraczającą tysięcznej części procenta. Stan równowagi mostka Thomsona może być uzyskany przez regulację opornika RN lub jednoczesną regulację oporników R4, R’4. Mostki, w których stan równowagi uzyskuje się przez regulację ciągłą opornika wzorcowego RN, są bardzo proste i tanie, jednak mało dokładne. Są to tzw. mostki techniczne.
Mostki z jednoczesną regulacją R4, R’4 są na ogół cztero- lub pięciodekadowe o jednoczesnej regulacji od 0,01 lub 0,1 do 1000 Ω. Oporniki wzorcowe R3, R’3 ustawione są na wartości 10, 100 lub 1000 Ω (za pomocą zwieraczy kołkowych). Opornik wzorcowy RN jest wymienny, czterozaciskowy, o wartościach od 0,0001 do około 1 Ω.
Osiągalna łączna względna niepewność pomiaru za pomocą mostków z opornikami dekadowymi wynosi 0,05 - 0,2 %, zaś z drutem ślizgowym 0,5 - 1 %. Zakres pomiarowy mostka Thomsona wynosi od 10-6 do około 10 Ω. Mostka Thomsona używa się do pomiarów małych rezystancji np. rezystancji boczników, do wyznaczenia rezystywności metali, współczynnika temperaturowego rezystywności drutów itp. Mostki Thomsona budowane są często jako kombinowane z mostkiem Wheatstone’a.
Dokładność pomiaru
Niepewność standardowa łączna wyniku pomiaru dokonanego za pomocą mostków stałoprądowych wynika z kilku niepewności standardowych składowych, z których każda ma inne źródło. Znajomość źródeł niepewności standardowych, umiejętność obliczania wartości niepewności całkowitej wyniku pomiaru są mniej ważne, niż znajomość samej zasady metody pomiarowej. Źródła niektórych niepewności tkwią w samym urządzeniu pomiarowym. Na niepewność łączną pomiaru składają się niepewności standardowe wynikające z parametrów poszczególnych elementów mostka oraz niepewności standardowe wynikające z wpływu czynników zewnętrznych. Czynniki zewnętrzne wpływające na wynik pomiaru – zarówno zewnętrzne, jak i wewnętrzne mogą być stałe w czasie lub podlegać zmianom.
Oprócz niepewności mających źródło we właściwościach samego mostka, istnieją niepewności, których źródłem i przyczyną jest osoba przeprowadzająca pomiar. Niepewności te można sklasyfikować następująco:
Niepewności typu A
Wyznaczane są za pomocą metod statystycznych. Można przyjąć, że niepewności standardowe typu A odpowiadają niepewności spowodowanej efektami przypadkowymi. Niepewność standardową typu A ocenia się zawsze na podstawie wyników serii pomiarów znanymi metodami statystyki matematycznej.
Przyczyną powstawania błędów przypadkowych są zmienne w czasie czynniki, związane z właściwościami elementów mostka oraz osoby dokonującej pomiaru, a także zmienne w czasie wielkości wpływające, niezwiązane z mostkiem, których wartość nie daje się przedstawić jako określona funkcja czasu. Cechą charakterystyczną błędów powstających w wyniku oddziaływania tych czynników jest to, że w pomiarach wykonywanych w tych samych pozornie warunkach mają różne wartości. Do czynników powodujących błędy przypadkowe w mostkach stałoprądowych można zaliczyć:
- zmiany rezystancji elementów mostka na skutek nagrzewania się ich pod wpływem przepływającego prądu, co powoduje zmiany rozpływu prądów w sieci mostka lub zmiany napięcia na poszczególnych elementach,
- niestałość rezystancji zestyków przełączników oporników mostka, spowodowaną najczęściej zanieczyszczeniem,
- zmienne w sposób stochastyczny rezystancje zestyków spowodowane niestarannym montażem, np. słabym dokręceniem zacisków lub zanieczyszczeniem końcówek,
- szybko zmieniające się siły elektromotoryczne pasożytnicze: termoelektryczne i elektrochemiczne, występujące na stykach przełączników oporników mostka oraz przekątnej wskaźnika równowagi,
- zmienne rezystancje przewodów spowodowane np. uszkodzeniem żyły kabla,
- niestabilność położenia zerowego wskazówki wskaźnika równowagi; może być ona spowodowana różnymi przyczynami (siły termoelektryczne, uprzednie znaczne przeciążenie galwanometru, niedokładne wyważenie organu ruchomego, wstrząsy i drgania mechaniczne, dryft ciągły itp.),
- niekontrolowane zmiany temperatury elementów mostka,
- niedokładność i niedoskonałość spostrzegania osoby dokonującej pomiaru,
- błąd nieczułości – wynikający z niemożliwości ścisłego spełnienia warunków równowagi mostka, gdyż nie ma takiego wskaźnika, który reagowałby na dowolnie małą wartość prądu Ig.
Wartością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej wielkości mierzonej, a zatem tą, której przypisuje się największe prawdopodobieństwo, jest średnia arytmetyczna wartości Rx1, ..., Rxn. Uznaje się ją za wynik ostateczny pomiaru Rx:
Wzór 7
Niepewność standardową wyznacza się z zależności:
Wzór 8
Mierzoną rezystancję Rx oblicza się z zależności (3). Zależność ta jest słuszna wtedy, gdy Ig galwanometru jest równy zeru. Ponieważ jednak w praktycznie zrównoważonym mostku prąd galwanometru Ig nie jest ściśle równy zeru, dlatego obliczając wartość rezystancji Rx z zależności (3) otrzymujemy wynik różniący się od rzeczywistej wartości mierzonej rezystancji. Powstały błąd jest błędem nieczułości układu mostkowego i wynika ze skończonej czułości reagowania galwanometru na zmianę mierzonej wielkości. Przyrost ΔRx wartości wielkości mierzonej, który powoduje dostrzegalne odchylenie galwanometru (umownie 0,1 dz) w okolicy działki ‘0’ nazywamy nieczułością układu mostkowego, zaś stosunek ΔRx/Rx – błędem względnym nieczułości układu mostkowego.
Można uzasadnić, że błąd względny nieczułości mostka jest odwrotnie proporcjonalny do napięcia U zasilającego mostek, wprost proporcjonalny do stałej C1 galwanometru (odwrotnie proporcjonalny do czułości Si galwanometru) oraz zależy od rezystancji Rx, R2, R3, R4 występujących w gałęziach mostka i rezystancji galwanometru.
Błąd nieczułości można zmniejszyć przez zwiększenie napięcia U zasilającego mostek, przez zastosowanie galwanometru o większej czułości Si oraz przez odpowiedni dobór wartości rezystancji występujących w gałęziach mostka. Zwiększenie napięcia U jest ograniczone ze względu na wydzielanie się ciepła w poszczególnych opornikach mostka. Względny błąd nieczułości wyznacza się na drodze doświadczalnej z zależności:
Wzór 9
gdzie:
ΔR4 – zmiana rezystancji R4 powodująca odchylenie galwanometru o 0,1 działkę,
R4 – rezystancja odpowiadająca stanowi równowagi.
W praktyce, w celu otrzymania większej dokładności, zmienia się rezystancję R4 tak, aby uzyskać odchylenie wskazówki galwanometru o 1 działkę, a wynik dzieli się przez 10. Niepewność wynikającą z błędu nieczułości un można wyznaczyć przez wykonanie serii pomiarów błędu nieczułości i obliczenie niepewności typu A odpowiednio według zależności (8). Wpływ czynników powodujących błędy przypadkowe można ograniczyć przez staranne przygotowanie mostka, dokładną stabilizację warunków, w jakich pomiar jest wykonywany i staranne postępowanie przy pomiarze.
Niepewności typu B
Niepewność standardowa typu B odpowiada niepewności spowodowanej błędami systematycznymi, których wartość i znak są znane. Są one uwzględniane w postaci poprawki i nie mają wpływu na wartość niepewności typu B. Niepewność standardową typu B ocenia się przez określenie pewnych wielkości, które mogą stanowić ocenę odchyleń standardowych. Najczęstszym przypadkiem występującym w praktyce jest konieczność oceny niepewności standardowej typu B, wynikającej z błędów aparatury pomiarowej. Błąd aparatury jest określany przez podanie wartości granicznej błędu Δg w postaci klasy dokładności. Przy założeniu, że błędy aparatury mają rozkład jednostajny, to odchylenie standardowe jest niepewnością typu B.
Wzór 10
Do czynników powodujących niepewności typu B w mostkach stałoprądowych należą:
- błędy oporników wchodzących w skład ramion mostka, wynikające z niedokładności ich wykonania oraz wzorcowania,
- rezystancja przewodów łączeniowych,
- przewodność izolacji przewodów i elementów mostka,
- siły termoelektryczne stałe.
Najczęściej w powszechnie stosowanych mostkach uwzględnia się składową niepewności typu B, wynikającą z błędów oporników. Pozostałe składniki uwzględnia się i oblicza jedynie w mostkach najwyższej klasy.
Niepewność wynikającą z niedokładności wykonania opornika można określić zależnością:
Wzór 11
Ponieważ wartości błędów obarczających parametry poszczególnych elementów są przypadkowe, niepewność standardową łączną można opisać zależnością:
Wzór 12
Zależność ta pozwala obliczyć niepewność w przypadku, kiedy w metryce mostka są podane osobno błędy graniczne rezystancji poszczególnych stopni jego oporników lub w przypadku, kiedy mostek jest zestawiony z oporników oddzielonych. Niepewność standardową łączną pomiaru rezystancji, przy założeniu braku korelacji między poszczególnymi czynnikami, określa wyrażenie:
Wzór 13
Przy zestawieniu mostka i doborze parametrów jego elementów, należy dążyć do tego, aby niepewność wynikająca z błędu nieczułości uN i niepewność uA były dostatecznie małe w porównaniu z niepewnością uRc, której wartość wynika z błędów zastosowanych elementów.
Czułość układu mostkowego można uznać za wystarczającą i błąd nieczułości pominąć, jeżeli wartość względnego błędu nieczułości układu jest pomijalnie mała w stosunku do wartości niepewności uRc. Najczęściej przyjmuje się, że wystarczający jest warunek:
Wzór 14
Zatem, przy zachowaniu warunku (14) uRc stanowi zadowalające przybliżenie niepewności standardowej łącznej. Wartość uRc wyznacza zatem najmniejszą niepewność pomiaru, jaką przy stosowaniu określonego urządzenia pomiarowego można osiągnąć. Dostatecznie dużą czułość uzyskuje się przez odpowiedni dobór wskaźnika równowagi, parametrów elementów mostka i źródła zasilającego. Czułość układu nie powinna być jednak zbyt duża, gdyż utrudnia to proces równoważenia mostka.
Literatura
- A. Chwaleba, M. Poniński, A. Siedlecki, Metrologia elektryczna, WNT, Warszawa 2003.
- M. Stabrowski, Miernictwo elektryczne, Cyfrowa technika pomiarowa, OWPW, Warszawa 1994.
- J. Dusza, G. Gortat, A. Leśniewski, Podstawy miernictwa, OWPW, Warszawa 2002.
- A. Marcyniuk, Podstawy miernictwa elektrycznego, WPŚ, 2002.
- J. Czajewski, Podstawy metrologii elektrycznej, OWPW, Warszawa 2003.
- J. Salata, Pomiary parametrów instalacji elektrycznych w teorii i praktyce, Merswewis, Warszawa 2007.
- F. Łasak, Wykonywanie pomiarów odbiorczych i okresowych pomiarów ochronnych w instalacjach elektrycznych o napięciu znamionowym do 1 kV, El-Fred, sierpień 2005.
