Obliczanie zwarć z wykorzystaniem metody składowych symetrycznych (część 1.)
Wybrane zagadnienia algebry liniowej. Podstawy matematyczne przekształcenia
Rys. 1. Wykres na płaszczyźnie Gaussa operatora a; a2 oraz a3 = 1, rys. J. Wiatr
Znajomość prądów zwarciowych stanowi podstawę doboru aparatów elektrycznych oraz pozwala na ocenę narażeń dynamicznych. Powszechnie znane są metody obliczania prądów zwarć symetrycznych oraz prądów zwarć jednofazowych bez udziału ziemi. W praktyce zachodzi potrzeba wyznaczenia prądów zwarć dwufazowych oraz zwarć jednofazowych z udziałem ziemi. W tym zakresie niezbędna jest znajomość metody składowych symetrycznych, która opiera się na elementach algebry liniowej. Niniejszy artykuł przedstawia wybrane elementy teorii algebry liniowej w zastosowaniach do obliczania zwarć i stanowi wprowadzenie do części drugiej, w której zostaną opisane zastosowania praktyczne tej metody.
Zobacz także
mgr inż. Łukasz Gołębiowski, mgr inż. Radosław Przybysz, mgr inż. Grzegorz Wojtaś System do walidacji i testowania urządzeń Merging Unit z wykorzystaniem komunikacji IEC 61850 i strumieni Sampled Values
W cyfrowej stacji elektroenergetycznej sygnał pomiarowy nie kończy już swojej drogi na zaciskach przekaźnika. Prąd i napięcie są próbkowane, przeliczane i przesyłane przez Ethernet jako strumienie Sampled...
W cyfrowej stacji elektroenergetycznej sygnał pomiarowy nie kończy już swojej drogi na zaciskach przekaźnika. Prąd i napięcie są próbkowane, przeliczane i przesyłane przez Ethernet jako strumienie Sampled Values. Pozornie działa to prosto: urządzenie Merging Unit odbiera sygnał analogowy i udostępnia jego cyfrową postać innym elementom automatyki. W praktyce każdy etap tej drogi może jednak wprowadzić błąd.
mgr inż. Bartosz Owczarczuk, mgr inż. Piotr Sitek, mgr inż. Mariusz Kucharek Autonomiczne sensory dla infrastruktury SN – od pozyskiwania energii z pola magnetycznego do diagnostyki predykcyjnej
Rozdzielnice średniego napięcia (SN) są głównymi węzłami dystrybucji energii elektrycznej, których bezawaryjność bezpośrednio determinuje stabilność procesów przemysłowych. Podstawowym mechanizmem degradacji...
Rozdzielnice średniego napięcia (SN) są głównymi węzłami dystrybucji energii elektrycznej, których bezawaryjność bezpośrednio determinuje stabilność procesów przemysłowych. Podstawowym mechanizmem degradacji wewnątrz tych urządzeń jest wzrost rezystancji zestykowej, wywołany m.in. luzowaniem połączeń przewodów szynowych czy utlenianiem powierzchni kontaktowych [1]. Zjawiska te prowadzą do lokalnego wydzielania ciepła, dlatego przyrost temperatury uznaje się za najwcześniejszy i najbardziej wiarygodny...
dr hab. inż. Andrzej Ł. Chojnacki Modele matematyczne funkcji niezawodnościowych napowietrznych linii dystrybucyjnych 110 kV, SN oraz nn
Problem niezawodności urządzeń elektroenergetycznych jest bardzo ważny ze względu na pewność dostaw energii elektrycznej do znacznej grupy jej odbiorców. W wielu przypadkach przerwy w dostawie energii...
Problem niezawodności urządzeń elektroenergetycznych jest bardzo ważny ze względu na pewność dostaw energii elektrycznej do znacznej grupy jej odbiorców. W wielu przypadkach przerwy w dostawie energii stwarzają realne zagrożenie dla życia lub zdrowia ludzkiego, np. w przypadku osób korzystających z profesjonalnej aparatury medycznej podtrzymującej życie. Stałe więc nadzorowanie pracy sieci elektroenergetycznych oraz analiza awarii w nich występujących są konieczne, aby ustalić metody właściwej eksploatacji...
Wyznacznik n-tego stopnia
Definicja 1
Macierzą nazywamy zbiór „m · k” liczb aik rozmieszczonych według schematu (1) w prostokątnej tablicy składającej się z „m” wierszy oraz „k” kolumn:
Symbol aik oznacza element należący do i-tego wiersza i k-tej kolumny macierzy (1). W przypadku m = k macierzy (1), macierz nazywamy kwadratową:
Zgodnie z definicją macierz jest tablicą liczb, której znaki nie są ze sobą powiązane symbolami jakichkolwiek operacji matematycznych. Mówimy więc krótko „macierz”, rozumiejąc przez to tablicę (1) lub w szczególności tablicę (2). Wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy kwadratowej (2), który oznacza się symbolem:
nazywa się liczbę przyporządkowaną tablicy kwadratowej (2), w następujący sposób:
gdzie:
Aik (k = 1, 2, ... m) – podwyznacznik stopnia (n–1) utworzony z wyznacznika (3) przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny,
aik – element wyznacznika (3),
i – numer wiersza,
k – numer kolumny.
W ten sposób określa się podwyznaczniki macierzy kwadratowych stopni (n-1).
Definicja 2
Podwyznacznikiem, czyli minorem wyznacznika stopnia n odpowiadającym elementowi aik, nazywamy wyznacznik stopnia (n–1), który powstaje z danego wyznacznika przez opuszczenie i-tego wiersza i k-tej kolumny. Oznaczamy go jako Aik.
Definicja 3
Iloczyn podwyznacznika Aik wyznacznika (3), zaopatrzony znakiem plus lub minus (w zależności od tego, czy suma wskaźników opuszczonego wiersza i kolumny jest parzysta, czy nieparzysta), nazywamy podwyznacznikiem względnym lub dopełnieniem algebraicznym elementu aik: A*ik = (–1)i+k · Aik .
Przykład 1
Wyznaczniki A11 ; A23 ; A33:
są minorami (podwyznacznikami) wyznacznika:
należącymi odpowiednio do elementów: a11; a23; a32.
Natomiast wyrażenia: A*11 = (–1)2 · A11 ; A*23 = (–1)5 · A23 ; A*33 = (–1)6 · A33 są podwyznacznikami względnymi wyznacznika (6), należącymi odpowiednio do elementów: a11; a23; a33, czyli:
Obliczanie wartości wyznacznika
Z określenia wartości wyznacznika (5) wynikają praktyczne metody obliczania wyznaczników 2. i 3. stopnia. Dla wyznacznika 2. stopnia obliczenia ograniczają się do następującego schematu:
Dla wyznacznika 3. stopnia:
W praktyce dla wyznacznika 3. stopnia wygodniej jest korzystać z metody Sarusa, gdzie pod wyznacznikiem przepisujemy pierwszy i drugi wiersz, a następnie mnożymy wzdłuż trzech przekątnych równoległych wyznaczonych przez elementy leżące na przekątnych głównych. Wynik mnożenia wzdłuż przekątnych od lewej do prawej mnożymy przez znak „+”, natomiast wynik uzyskany z mnożenia wzdłuż przekątnych od prawej do lewej mnożymy przez znak „–”:
Natomiast wyznaczniki stopnia n ≥ 4 obliczamy metodą Laplace’a lub metodą Chió.
Metoda Laplace’a
Wartość wyznacznika dowolnego stopnia równa się sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im podwyznaczniki względne:
dla rozwinięcia wyznacznika według i-tego wiersza:
dla rozwinięcia wyznacznika według k-tej kolumny:
Przykład 2
Należy obliczyć wartość wyznacznika:
Rozwinięcie zostanie wykonane według elementów trzeciej kolumny (kolejno wykreślamy wiersze i trzecią kolumnę, wyciągając przed wyznacznik element występujący na linii skreślenia wiersza i kolumny):
W tym przypadku wyznaczniki 3. stopnia należy obliczyć metodą Sarusa.
Metoda Chió
Metoda ta pozwala wyznacznik n-tego stopnia przekształcić na jeden równy mu wyznacznik stopnia (n–1). Dla każdego wyznacznika n-tego stopnia słuszny jest następujący wzór:
Warunek: a11 ≠ 0; gdy a11 = 0 ⇒ zamienić dwie kolumny lub dwa dowolne wiersze pomiędzy sobą, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny dla wyznacznika. Zamianie mogą podlegać wyłącznie wiersze lub kolumny wyznacznika, które wyeliminują a11 ≠ 0, gdzie:
Dla przykładu, wyznacznik 3. stopnia można przekształcić do następującej postaci:
Przykład 3
Należy obliczyć wartość wyznacznika A, korzystając z metody Chió:
Po uzyskaniu wyznacznika 3. stopnia można było skorzystać z metody Sarusa.
Własności wyznaczników
Własność 1.
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn w tym samym porządku, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Przykład: należy obliczyć wartość wyznacznika A:
Po przestawieniu wierszy na miejsce kolumn (czyli dokonaniu transpozycji) wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie:
Własność 2.
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy między sobą dwie dowolne kolumny lub dwa wiersze, to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną. Dla przykładu, po przestawieniu pierwszej i drugiej kolumny (zamianie miejscami):
Własność 3.
Jeżeli w wyznaczniku występują dwa identyczne wiersze lub dwie identyczne kolumny, to wartość wyznacznika równa się zeru.
Własność 4.
Jeżeli wszystkie elementy tego samego wiersza lub kolumny pomnożymy przez ten sam czynnik, to wartość wyznacznika będzie przez ten czynnik pomnożona:
Z własności tej wynika wniosek: jeżeli elementy jakiegoś wiersza lub kolumny mają wspólny czynnik, to można go wyciągnąć przed wyznacznik.
Przykład 4
Z pierwszego i trzeciego wiersza wyciągamy przed znak wyznacznika 3, otrzymując:
Własność 5.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza lub kolumny są zerami, to wartość wyznacznika równa się zeru.
Przykład 5
Własność 6.
Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy odpowiednie elementy innego wiersza lub kolumny pomnożone przez stałą liczbę k, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Jeżeli k = 1, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, gdy do elementów dowolnego wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy odpowiednie elementy innego wiersza lub kolumny.
Przykład 6
Po wyznaczeniu z wykorzystaniem metody Sarusa det A = 446 (obliczenia pozostawiamy czytelnikom).
Spróbujmy ten wyznacznik poddać pewnym przekształceniom zgodnie z przedstawionymi właściwościami wyznaczników:
Z drugiego i trzeciego wiersza wyciągamy (–3):
Od elementów drugiej kolumny odejmujemy odpowiednie elementy trzeciej kolumny:
Po zastosowaniu metody Sarusa (obliczenia pozostawiamy czytelnikom):
Macierze
Przyjmijmy oznaczenie macierzy o „i” wierszach i „k” kolumnach jako [aik].
Równość macierzy
Dwie macierze [aik] i [bik] nazywamy równymi, gdy są tego samego typu i gdy wszystkie odpowiednie elementy są równe:
Dodawanie macierzy
Dodawać możemy tylko macierze tego samego typu, dodając odpowiednie ich elementy:
Odejmowanie macierzy
Odejmować możemy tylko macierze tego samego typu, odejmując odpowiednie ich elementy:
Przykład 8
Dane są dwie macierze:
Należy znaleźć sumę i różnicę tych macierzy:
Mnożenie macierzy przez liczbę
Macierz [aik] mnożymy przez liczbę (skalar) α, mnożąc każdy element tej macierzy przez tę liczbę, tzn.:
Przykład 9
Dana jest macierz A oraz liczba k = 2. Znaleźć macierz k · A:
Mnożenie macierzy przez macierz
Macierz A można mnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B:
Zatem, jeżeli:
to:
Przykład 10
Pomnożyć macierz A przez macierz B.
Ponieważ liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, mnożenie jest wykonalne:
Podczas wykonywania mnożenia macierzy bardzo pomocnym narzędziem jest tzw. schemat Falka. Polega on na tym, że wiersze macierzy A przemnaża się przez kolumny macierzy B, wykonując sumowanie algebraiczne otrzymanych iloczynów. Otrzymane w ten sposób liczby są współczynnikami macierzy C, uzyskiwanymi wg zasady opisanej wyżej. Otrzymujemy w ten sposób macierz o liczbie wierszy równej macierzy A oraz liczbie kolumn równej liczbie kolumn macierzy B:
Mnożenie macierzy przez macierz można wykonać także z wykorzystaniem schematu Falka, w którym wyraz cik iloczynu leży na przecięciu i-tego wiersza macierzy A oraz k-tej kolumny macierzy B:
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn.:
Z definicji mnożenia macierzy przez macierz wynika, że iloczyn macierzy kwadratowej przez macierz jednokolumnową jest macierzą jednokolumnową.
Oznacza to, że układ n równań o n niewiadomych:
można zapisać w następujący sposób:
Oznaczając macierz współczynników przez A, jednokolumnową macierz niewiadomych przez X, a jednokolumnową macierz wolnych wyrazów przez B, powyższe wyrażenie możemy zapisać w postaci:
Macierz nieosobliwa
Macierz kwadratową określoną wzorem (2) nazywamy nieosobliwą, wówczas gdy jej wyznacznik, który oznaczać będziemy jako det A, jest różny od zera. Czyli det A ≠ 0.
Macierz diagonalna
Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz:
Macierz kwadratową stopnia „n” nazywa się diagonalną, jeżeli aik = 0 dla i ≠ k gdzie: i – nr wiersza; k – nr kolumny. Często oznacza się ją symbolem diag(d1 , d2 ,d3 , ....... dn), gdzie di = aii są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.
Macierz jednostkowa
Macierzą jednostkową I nazywamy macierz kwadratową, której elementy leżące na przekątnej głównej są równe jedności, a pozostałe równe zeru:
Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej.
Dla dowolnej macierzy A słuszne są relacje:
Macierz odwrotna
Macierzą odwrotną macierzy A, którą oznaczać będziemy A–1, nazywamy taką macierz, która spełnia równości:
Macierz przestawiona (transponowana)
Macierzą przestawioną (transponowaną), którą oznaczać będziemy AT, nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny, w tym samym porządku:
Macierz dołączona
Dołączoną macierzy kwadratowej A, którą oznaczać będziemy symbolem AD, nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A w następujący sposób: najpierw każdy element macierzy A zastępujemy jego dopełnieniem algebraicznym A*ik, a następnie z otrzymanej macierzy tworzymy macierz przestawioną (transponowaną), tzn.:
gdzie: A*ik = (–1)i+k · Aik
Jeżeli macierz kwadratowa A = [aik] jest nieosobliwa, to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna A–1, która wyraża się następującym wzorem:
W takim przypadku równanie (20) pomnożone przez A–1 uzyskuje postać:
Ponieważ A–1 · A = I oraz I · X = X w konsekwencji otrzymuje się wyrażenie:
które określa rozwiązanie układu n równań o n niewiadomych w postaci macierzowej.
Przykład 10
Rozwiązać układ równań:
oznaczmy jako:
Wówczas wyznacznik macierzy A, obliczony z wykorzystaniem metody Sarusa, wynosi:
Ponieważ wartość wyznacznika jest różna od zera, macierz A jest macierzą nieosobliwą, dla której istnieje macierz odwrotna A–1, zatem istnieje do tej macierzy dokładnie jedna macierz odwrotna (przekształcenie pozostawiamy Czytelnikom):
Zatem równanie macierzowe X = A–1 · B możemy zapisać następująco:
czyli: x = 1; y = 2; z = –1.
Podstawy matematyczne teorii składowych symetrycznych
Teoria składowych symetrycznych opiera się na operatorze obrotu o kąt 120°, oznaczanego literą a. Zgodnie z wzorem Eulera, operator ten możemy zapisać następująco:
Dodając stronami powyższe równania, otrzymuje się następującą zależność:
Ponadto zachodzą zależności:
Otrzymany związek w interpretacji geometrycznej wyraża, że z wektorów 1; a; a2 na płaszczyźnie Gaussa można utworzyć zamknięty trójkąt równoboczny, co zostało przedstawione na rysunku 1.
Rys. 1. Wykres na płaszczyźnie Gaussa operatora a; a2 oraz a3 = 1, rys. J. Wiatr
W odniesieniu do napięć generatora synchronicznego, ich chwilowe wartości można zapisać następująco:
Napięciom tym można na płaszczyźnie Gaussa przyporządkować układ trzech wektorów:
Uzyskany w ten sposób układ uporządkowanych trzech wektorów w teorii składowych symetrycznych nosi nazwę układu zgodnego. Natomiast układ symetryczny przeciwny otrzymuje się, stosując następujący zapis napięć chwilowych:
Napięciom tym można na płaszczyźnie Gaussa przyporządkować układ trzech wektorów:
Uzyskany w ten sposób układ uporządkowanych trzech wektorów w teorii składowych symetrycznych nosi nazwę układu przeciwnego. W przypadku, gdy wartości napięć chwilowych zostaną zapisane zależnością:
Otrzymujemy wówczas na płaszczyźnie Gaussa uporządkowany układ trzech identycznych wektorów: UA = UB = UC = U0, który w teorii składowych symetrycznych nosi nazwę układu zerowego. Wykres poszczególnych układów na płaszczyźnie Gaussa przedstawia rysunek 2.
Rys. 2. Wykres na płaszczyźnie Gaussa układów symetrycznych: a) zgodnego, b) przeciwnego, c) zerowego, rys. J. Wiatr
Przedstawioną elementarną teorię można zilustrować, przedstawiając schemat niesymetrycznego napięcia równoważnego połączeniu łańcuchowemu trzech generatorów symetrycznych napięcia (rys. 3.).
Rys. 3. Schemat niesymetrycznego napięcia, równoważnego połączeniu łańcuchowemu trzech generatorów symetrycznych napięcia, rys. J. Wiatr
Przedstawiony na rysunku 3. układ połączenia generatorów umożliwia zasilanie trójfazowego odbiornika gwiazdowego z generatora niesymetrycznego G, przy położeniu przełącznika w pozycji 2. Natomiast przy położeniu przełącznika w pozycji 1 zasilanie odbiornika jest realizowane z trzech generatorów trójfazowych G1, G2, G3. Punkty neutralne generatora G i łańcucha są połączone bezimpedancyjnie, a fazy odbiornika mają znaczną impedancję, dzięki czemu pobierane przez odbiornik prądy są bardzo małe. Napięcia w poszczególnych fazach odbiornika można zapisać następująco:
lub w postaci macierzowej:
Macierz przekształcenia oznaczymy jako S:
Po przekształceniach można otrzymać macierz odwrotną S–1 macierzy S:
Tok przekształcenia – działania na poszczególnych elementach macierzy S-1:
Zatem:
czyli:
Podobne zależności uzyskujemy w odniesieniu do prądów oraz impedancji:
czyli:
Oznaczając:
Można zapisać rozkład na składowe symetryczne, wyrażone równaniami macierzowymi, za pomocą zależności:
Podobne zależności dotyczą impedancji:
zatem:
Podstawowe twierdzenia dotyczące metody składowych symetrycznych
Twierdzenie 1.
W układzie źródła lub odbiornika trójfazowego połączonego w gwiazdę bez przewodu neutralnego składowa zerowa prądu jest równa zero, I0 = 0.
Twierdzenie 2.
W układzie trzech prądów (napięć), z których jeden tylko prąd (jedno napięcie) jest różny od zera, składowe symetryczne tego prądu (napięcia) są sobie równe i równają się jednej trzeciej części prądu (napięcia) różnego od zera. Dla przykładu:
Twierdzenie 3.
W układzie trzech prądów (napięć), z których jeden tylko prąd (jedno napięcie) jest równy zero, suma geometryczna składowych symetrycznych zerowej, zgodnej i przeciwnej tego prądu (tego napięcia) jest równa zero:
Twierdzenie 4.
W układzie trójfazowym trój- lub czteroprzewodowym składowa symetryczna napięcia międzyfazowego (mierzona w źródle, na linii lub na odbiorniku) jest równa zero, U0 = 0.
Twierdzenie 5.
W uzwojeniach źródła lub odbiornika połączonego w trójkąt może krążyć składowa zerowa prądu fazowego, ale nie może wyjść w linię, tzn. nie może wystąpić w prądzie liniowym.
