Analiza skuteczności wybranych metod prognoz wieloletnich rocznego zapotrzebowania na energię elektryczną na potrzeby spółek dystrybucyjnych

Długoterminowe prognozy rocznego zapotrzebowania na energię elektryczną stanowią dla energetycznych spółek dystrybucyjnych istotną informację zarówno o charakterze ekonomicznym, jak i technicznym [9, 12]. Każdego roku zużycie energii elektrycznej rośnie, co zmusza spółki dystrybucyjne do ciągłych zmian w istniejących elementach sieciowych, np. zwiększenia przekrojów przewodów linii elektroenergetycznych, konfiguracji sieci oraz ich zabezpieczeń, wymiany transformatorów na jednostki o większej mocy. Rysunek 1. przedstawia zmiany w zapotrzebowaniu na energię elektryczną w spółce dystrybucyjne RWE Polska na przestrzeni ostatnich 100 lat.

Jednym z powodów wzrostu zapotrzebowania na energię elektryczną jest oczywiście rosnące zużycie energii elektrycznej u odbiorców. Rozwój aglomeracji miejskiej generuje powstawanie nowych odbiorców, często o dużym zapotrzebowaniu na energię elektryczną, co również wpływa na wzrost zużycia energii elektrycznej. Konieczne stają się więc inwestycje w nowe elementy sieciowe w przypadku rozwoju urbanistycznego w rejonie dotychczas pozbawionym zasilania, zmiany tras eksploatowanych linii elektroenergetycznych, wymiany transformatorów oraz kablowania linii napowietrznych WN. Inwestycje tego typu są bardzo kosztowne i wymagają długiego czasu na ich realizację. Dokładne prognozy wzrostu zapotrzebowania na energię elektryczną umożliwiają spółce dystrybucyjnej lepsze oszacowanie zysków w kolejnych latach, a więc także dostępnych środków na wymagane inwestycje zarówno związane z rozwojem sieci elektroenergetycznych oraz modernizacji sieci będących w eksploatacji. Prognozy wieloletnie są trudne z uwagi na dość silne powiązania poziomu zapotrzebowania na energię elektryczną z innymi danymi pozaenergetycznymi, m.in. ogólną sytuacją ekonomiczną kraju i regionu, dla którego są wykonywane, rónymi zjawiskami atmosferycznymi występującymi w danym roku (przykładem może być wyjątkowo upalne lato w 2006 roku w Polsce oraz mroźne zimy 2005/2006, 2009/2010), a także sytuacją finansową odbiorców końcowych. Zwiększona częstotliwość występowania różnych zjawisk atmosferycznych typu upalne lata oraz wzrost poziomu życia ludności powodują stały wzrost sprzedaży urządzeń elektrycznych, w tym również klimatyzacyjnych, które zmieniają profile miesięczne zużycia energii elektrycznej oraz wpływają na całkowity roczny poziom zużycia energii elektrycznej. Przykładowo, jak widać na rysunku 2., Francja ma ponaddwukrotnie wyższy poziom zużycia energii elektrycznej na jednego mieszkańca, a Grecja ma o około 50% wyższy poziom zużycia niż Polska. Wraz z przystąpieniem Polski do Unii Europejskiej należy spodziewać się powolnego wieloletniego wzrostu zużycia energii elektrycznej na jednego mieszkańca.

Przegląd metod stosowanych w prognozach wieloletnich

Na potrzeby prognoz długoterminowych wykorzystuje się m.in. [3, 4, 5, 6, 12] metody oparte na teorii chaosu deterministycznego, metody ekonometryczne, metody regresji wielokrotnej, metody bezpośredniej ekstrapolacji trendu, modele zużycia końcowego, modele oparte na rozkładzie kanonicznym wektora losowego, metody prognozowania przestrzennego wykorzystujące teorię zbiorów rozmytych lub teorię automatów komórkowych oraz metody wykorzystujące sztuczne sieci neuronowe. Na szczególną uwagę wśród wymienionych metod zasługuje metodyka prognozowania przestrzennego jako jedna z najbardziej obiecujących na przyszłość. W metodach prognozowania przestrzennego zapotrzebowania na energię elektryczną [1, 16], do modelowania zmiany liczby odbiorców i zmiany jednostkowego zużycia energii przez odbiorców wykorzystuje się osobne, ale powiązane ze sobą modele.

Liczbę odbiorców modeluje się na podstawie szczegółowej analizy przestrzennej, mającej na celu ustalenie lokalizacji, rodzajów oraz liczby odbiorców dla każdego fragmentu analizowanego obszaru, który podlega prognozowaniu. Natomiast w przypadku modelowania zmian zużycia energii elektrycznej na odbiorcę, bierze się pod uwagę zmiany sposobu użytkowania energii, który jest funkcją rodzaju odbiorcy, zużycia końcowego, a także czasu użytkowania. Ta metoda wymaga niestety dużej liczby szczegółowych i trudnych do uzyskania danych, odniesionych do określonych miejsc analizowanego obszaru. Sytuacja powinna ulec poprawie wraz z rozwojem systemów GIS i ich pełniejszym wykorzystaniem w zakresie danych graficzno-numerycznych oraz możliwości śledzenia rozwoju przestrzennego zużycia energii. Systemy GIS są bowiem głównym źródłem danych o zagospodarowaniu przestrzennym terenów podlegających prognozowaniu.

Prognozy rocznego zapotrzebowania na energię elektryczną wybranymi metodami

Pierwszym krokiem była szczegółowa analiza statystyczna danych. Można się z nią zapoznać w artykule pt. „Analiza statystyczna danych do prognoz wieloletnich” dostępnym na stronie internetowej miesięcznika elektro.info.pl w dziale poświęconym jakości energii elektrycznej. Do celów badań przyjęto, że zakres danych historycznych obejmuje 9 lat (1994 - 2002) natomiast prognozy do weryfikacji jakości poszczególnych metod prognostycznych (tzw. prognozy martwe) obejmują okres 6 kolejnych lat (2003 - 2008) [1]. Taką ilością danych historycznych (1994 - 2008) zużycia rocznego energii elektrycznej dysponowała spółka dystrybucyjna PGE-ZEWT SA obecnie (rys. 3.). Dla wybranych metod horyzont prognozy został wydłużony do 10 lat, ale ostatnie 4 lata (2009 - 2012) nie podlegały już weryfikacji jakości (brak realnych danych).

Metoda prognostyczna nr 1 – metoda naiwna

W metodzie tej założono, że wzrost zapotrzebowania na energię elektryczną będzie corocznie wynosił 3,2162%, czyli tyle, ile statystycznie wynosił średnio wzrost w latach 1994 - 2002. Przyjęto więc liniowy wzrost zapotrzebowania na energię elektryczną. Punktem początkowym obliczeń był rok 2002. Metodą krokową obliczano następnie zużycie energii na rok kolejny, bazując na wartości zużycia z roku poprzedniego (a ściśle jej prognozy).

gdzie:

y*(t) – prognoza na rok t.

Metoda okazała się najlepsza z analizowanych metod statystycznych, pomimo swojej prostoty (z uwagi na to, że średni błąd MAPE wynosił 1,347 %). Dla pierwszych 3 lat prognozy były bardzo bliskie wartościom rzeczywistym, dla 3 kolejnych lat uległy pogorszeniu z uwagi na zmianę kształtu krzywej zużycia energii (nietypowy półłuk z 2-letnim bardziej dynamicznym wzrostem zużycia energii elektrycznej).

Metoda prognostyczna nr 2 – estymacja prognoz przy wykorzystaniu funkcji typu wielomian

Przetestowano wielomian stopnia drugiego, trzeciego oraz czwartego. Współczynniki wielomianów dobrano na podstawie danych o zużyciu energii elektrycznej w latach 1994 - 2002. Uzyskane wielomiany przedstawiają równania (2), (3), (4).

Ponieważ ostatni rok z danych historycznych, czyli 2002, był znacznie wyżej od wartości szacowanej przez wielomiany, wzory wielomianów zostały skorygowane poprzez dodanie do wartości wielomianów członu stałego, który stanowił różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą w roku 2002, a wartością szacowaną z wielomianu. Po tym zabiegu prognozy przy użyciu wielomianów dla lat 2003 - 2008 w znaczący sposób poprawiły się. Wielomian stopnia dwa został uzupełniony o człon stały o wartości: 304 580. Wielomian stopnia trzy został uzupełniony o człon stały o wartości: 285 879. Wielomian stopnia cztery został uzupełniony o człon stały o wartości: 209 621.

Jakość prognoz okazała się bardzo słaba, najmniejsze błędy uzyskano dla wielomianu stopnia 3., natomiast wielomian stopnia 4. zmienił kierunek trendu z rosnącego na malejący, co spowodowało bardzo duże błędy prognoz (błąd MAPE prognoz martwych wyniósł odpowiednio dla wielomianu stopnia 2. – 8,431 %, dla wielomianu stopnia 3. – 6,812 %, a dla wielomianu stopnia 4. – 27,338 %). W każdym z 3 przypadków wraz z rosnącym horyzontem prognozy wielkości błędu narastały dość silnie.

Metoda prognostyczna nr 3 – klasyczna metoda Holta

Metoda Holta jest dość popularną i ogólnie znaną metodą prognozowania. Wykorzystuje ona liniowy dyskretny model dynamiczny drugiego rzędu z dwoma parametrami i przy spełnieniu pewnych warunków pozwala na prognozowanie na kilka kroków w przód. Metoda okazała się niezbyt dobra jakościowo (błąd MAPE prognoz martwych wyniósł 5,010 %). Szczególnie dla wyprzedzenia 4, 5 oraz 6 lat, prognozy miały dość duże błędy. Optymalne współczynniki metody wynosiły: a=0,4347, b=1,0159 dla miary błędu jako sumy kwadratów błędów bezwzględnych (SKB). Do optymalizacji wartości parametrów a oraz b wykorzystać można wybraną metodę optymalizacyjną, m.in. metody gradientowe (np. najmniejszego spadku, metoda gradientowa), metody różniczkowe drugiego rzędu (np. metoda Newtona, metoda quasi-Newtona). Do przeprowadzonych badań prognostycznych wykorzystano metodę Newtona zaimplementowaną w module Solver w arkuszu kalkulacyjnym Excel. W porównaniu z metodą optymalizacyjną – gradientów sprzężonych nie zaobserwowano różnic w wynikach optymalizacji.

Metoda prognostyczna nr 4 – zmodyfikowana metoda Holta

Zmodyfikowana metoda Holta wykorzystuje układ równań metody w tradycyjnej postaci, ale wykorzystano w niej pełny obszar stabilności równań modelu oraz zmieniono kryterium poszukiwania najlepszych parametrów. Zmodyfikowany model Holta ma następujący opis [24]:

gdzie:

t – oznacza chwilę czasu,

u_t – wartość zmiennej u w chwili t,

u*_t – prognoza zmiennej u w chwili t,

F – zmienna pomocnicza,

S – wygładzony przyrost zmiennej pomocniczej,

n – czas,

t=n – oznacza teraźniejszość,

t>n – oznacza chwile czasu, dla których wyznaczana jest prognoza.

Parametry a oraz b są dobierane. Warunki stabilności tego modelu są następujące:

Parametry dobiera się w obszarze stabilności modelu, przy czym przyjęta funkcja celu różni się od standardowej obejmującej błąd obliczony na danych z przeszłości. Obejmuje ona również składnik kary proporcjonalny do kwadratu zmiany błędu (ΔSt)2 i ma następującą postać:

gdzie:

Przyjęcie funkcji celu w takiej postaci powodowało, że dla γ>0 wprawdzie błąd dla danych z przeszłości był większy niż dla przypadku γ=0, ale zmienna prognozy była lepiej wygładzona i przy odpowiednim doborze parametru γ błędy prognozy były mniejsze. Parametr γ dobierać należy eksperymentalnie.

Prognoza metodą zmodyfikowaną Holta powinna generować nieco lepsze rezultaty niż klasyczna metoda Holta [25]. I tak faktycznie było (błąd MAPE prognoz martwych wyniósł zaledwie 2,055 %). Metoda okazała się jedną z lepszych z analizowanych metod prognostycznych. Optymalne współczynniki metody wynosiły: a=0,9842, b=0,0885 dla miary błędu jako sumy kwadratów błędów bezwzględnych (SKB). Parametr g wymagał dużego nakładu pracy, aby wyznaczyć jego wartość optymalną dla rozważanego problemu prognostycznego. Przeanalizowano ponad 60 różnych wartości tego parametru, biorąc pod uwagę jakość prognoz dla różnych horyzontów z zakresu γ od 0,1 do 10 000. Teoretycznie, można by poszukiwać jeszcze dokładniej, tzn. optymalnego γ dla każdego osobno horyzontu prognozy. Tym niemniej szacunkowa ustalona optymalna wartość γ wyniosła 5. Pamiętać przy tym należy, że szukając parametru γ nie można było odnosić się do wartości rzeczywistych z zakresu prognoz martwych (okres 6 lat), co dodatkowo komplikowało sytuację z uwagi na krótkie szeregi czasowe danych historycznych. Konieczność eksperymentalnego ustalania optymalnej wartości γ jest niewątpliwie dużym minusem tej metody. Tym niemniej jakość metody zmodyfikowanej Holta jest znacznie wyższa.

Metoda prognostyczna nr 5 – metoda autoregresji AR

Z uwagi na rosnący charakter prognozowanych danych nie analizowano metod typu średnia ruchoma prosta czy też średnia ruchoma ważona, a skoncentrowano się na przetestowaniu metody autoregresji, w której parametry (wagi) mogą przyjmować dowolne wartości. Prognozy na kolejne lata w stosunku do 1 roku prognozy wykonywane były metodą krokową wykorzystując dane historyczne oraz generowane prognozy. Optymalny rząd metody wyniósł 4. Wartości optymalnych parametrów wyniosły: w1=0,729, w2=0,428, w3=-0,556, w4=0,448. Testowano również rząd 2, 3 oraz 5 metody autoregresji AR, lecz jakość prognoz była gorsza. Przykładowo dla rzędu 4. uzyskano błąd MAPE prognoz martwych równy 1,646%, natomiast dla rzędu 3. błąd MAPE wyniósł 2,915%.

Testowano również miary błędów wykorzystywane w optymalizacji wartości parametrów modelu, porównując jakość prognoz dla błędu średniego (MAPE) oraz błędu sumy kwadratów błędów bezwzględnych (SKB). Miara błędu SKB okazała się nieco gorsza. Przykładowo dla rzędu 3. i optymalizacji parametrów modelu według MAPE, błąd MAPE prognoz martwych wyniósł 2,915%, natomiast przy optymalizacji modelu według SKB, błąd MAPE prognoz martwych wyniósł 3,189%.

Dodać należy, że testowano również sposób kodowania danych historycznych. Zamiast wartości zużycia energii wykorzystano względne różnice procentowe w stosunku do najstarszej danej historycznej (rok 1994). Metoda wykorzystująca względne różnice procentowe okazała się gorsza. Przykładowo, dla rzędu 3. błąd prognoz martwych MAPE na danych historycznych naturalnych wyniósł 2,915%, natomiast przy wykorzystaniu względnych różnic procentowych, błąd MAPE wyniósł 6,223%.

Z obserwacji rysunku 8. wyraźnie widać, że rząd 2. metody zupełnie nie poradził sobie z zadaniem prognostycznym. Nieco bardziej zbliżone przebiegi do rzeczywistych uzyskano przy rzędzie 3. oraz 5., natomiast najbliższy wartościom rzeczywistym był rząd 4., dla którego wykonano prognozę na 10 lat.

Metoda prognostyczna nr 6 – sieci neuronowe (perceptron wielowarstwowy)

Wykorzystano sieć neuronową  typu perceptron wielowarstwowyz jedną warstwą ukrytą i liczbą neuronów w tej warstwie równą 3. Najlepsze wyniki osiągnięto dla liczby epok treningowych około 300. Niestety brak dostatecznej liczby danych historycznych wymaganych dla efektywnego działania sieci neuronowej sprawił, że testy miały sens jedynie dla wyprzedzenia 1 rok (tylko 5 zestawów historycznych danych uczących). Jako dane uczące podawano wartości zużycia energii z lat t-1, t-2, t-3, t-4 w stosunku do roku prognozy t. Błąd prognozy MAPE dla prognozy martwej dla horyzontu prognozy 1 roku wyniósł 1,899%. Jest to błąd prognozy stosunkowo wysoki, porównywalny do metody wielomianu stopnia 2. Przykładowo, metoda autoregresji rzędu 4. miała dla 1 roku prognozy błąd MAPE równy 0,698%, natomiast metoda naiwna miała błąd MAPE jedynie 0,267%. Tak więc sieć neuronowa z uwagi na zbyt małą liczbę danych historycznych uczących nie była w tym przypadku dobrym narzędziem prognostycznym.

Metoda prognostyczna nr 7 – metoda autoregresji AR połączona z metodą ekonometryczną

Jako człon pierwszy metody wybranometodę autoregresji rzędu 4, natomiast jako drugi człon ekonometryczny wybrano do testowania różnice  względne zmian w rocznym zużyciuenergii z ostatnich 3 lat oraz ceny stałe z ostatnich 3 lat (100=1 rok 1994).  Optymalizacja parametrów wykonywana była globalnie dla członu autoregresjiAR (cztery wartości parametrów) oraz członu ekonometrycznego (trzy parametry strukturalne). Prognoza wykonywana była metodą krokową, podobnie jak metoda autoregresji AR. Połączenie członu autoregresji rzędu 4. (dane historyczne naturalne) z członem ekonometrycznym (różnice względne zmian w rocznym zużyciu energii z ostatnich 3 lat) wygenerowało po optymalizacji parametrów błąd prognoz martwych MAPE równy 3,58%.

Połączenie członu autoregresji rzędu 4. (dane historyczne zakodowane jako różnice względne) z członem ekonometrycznym (różnice względne zmian w rocznym zużyciu energii z ostatnich 3 lat) wygenerowało po optymalizacji parametrów błąd prognoz martwych MAPE równy 35,95%. Kodowanie danych jako różnice względne pogorszyło więc jakość prognoz. Natomiast połączenie członu autoregresji rzędu 4. (dane historyczne naturalne) z członem ekonometrycznym (ceny stałe z ostatnich 3 lat) wygenerowało po optymalizacji parametrów błąd prognoz martwych MAPE równy 8,85%. Dodać należy, że parametry strukturalne oscylowały wokół wartości zerowych, co sugeruje, że model był obojętny na uwzględnienie danych zawierających ceny stałe z ostatnich 3 lat, pomimo że w kolejnych latach prognozy krokowej wykorzystywano dane na temat cen stałych z zakresu prognoz martwych. Tak więc uwzględnienie informacji o cenach stałych nie poprawiło w żaden sposób jakości prognoz, a samo połączenie metody autoregresji AR z metodą ekonometryczną okazało się w tym przypadku mało skuteczne.

Zestawienie zbiorcze wyników prognoz wybranymi metodami prognostycznymi dla spółki dystrybucyjnej PGE-ZEWT SA przedstawia tabela 1. Natomiast wyniki prognoz dla najlepszych metod dla spółki dystrybucyjnej RWE Polska (weryfikacja metod na danych alternatywnych) przedstawia tabela 2.

Rysunek 9. przedstawia zbiorcze zestawienie wyników najlepszych metod alternatywnych dla spółki dystrybucyjnej PGE-ZEWT. Natomiast rysunek 10. przedstawia zbiorcze zestawienie wyników najlepszych metod alternatywnych dla spółki dystrybucyjnej RWE Polska, czyli spółki, na której wykonywana była weryfikacja skuteczności metod prognostycznych.

Horyzont prognozy a wybór metody prognostycznej

Z punktu widzenia szukania metod najlepszych dla danego horyzontu prognozy z zakresu 1 do 6 lat można wybrać bardziej preferowane metody dla danego wyprzedzenia. Ilustruje to tabela 3. Podstawą były wyniki uzyskane w obu rozważanych spółkach dystrybucyjnych. Dla każdego horyzontu dla danej spółki dystrybucyjnej został pogrubiony najlepszy wynik sugerujący, które metody są najefektywniejsze dla danego horyzontu prognozy.

Analizując tabelę 3. można zauważyć, że istnieje dość duża losowość pomiędzy danym horyzontem a metodą dającą najlepsze wyniki prognoz. Tym niemniej z 3 rozważanych metod, najrzadziej najlepsza była metoda autoregresji 4. rzędu. Natomiast dla wyprzedzeń od t+3 do t+6 najwięcej najlepszych  prognoz uzyskała metoda zmodyfikowana Holta, a dla wyprzedzeń od t+1 do t+2 metoda naiwna. Wydaje się więc, że do wyprzedzeń t+1 do t+2 warto zastosować metodę naiwną, a dla dłuższych do t+6 metodę zmodyfikowaną Holta. Dodać należy, że wyniki tej analizy nie muszą być takie same dla innych spółek dystrybucyjnych. Gdyby więc prognozy martwe dla obu spółek wyznaczać wykorzystując dla wyprzedzeń t+1 do t+2 metodę naiwną a dla wyprzedzeń t+3 do t+6 metodę zmodyfikowaną Holta, to rezultaty w porównaniu z najlepszymi metodami dla horyzontów od t+1 do t+6 mogłyby być nieco lepsze. Co wyszło w praktyce, pokazuje tabela 4.

Z tabeli 4. wynika więc, że dla przypadku spółki dystrybucyjnej PGE-ZEWT metoda łączonej prognozy dała gorszy wynik (błąd MAPE prognoz martwych wzrósł o 47% w stosunku do metody naiwnej). Na usprawiedliwienie należy dodać, że kształt krzywej zużycia energii dla lat od t+4 do t+6 jest dość nietypowy w tej spółce dystrybucyjnej. Natomiast dla spółki dystrybucyjnej RWE Polska wynik był lepszy w przypadku metody łączonej prognozy (błąd MAPE prognoz martwych zmalał o 12,7% w stosunku do metody zmodyfikowanej Holta). Takie podejście do prognoz z wyprzedzeniem do 6 lat jest więc warte rozważenia jako dobra alternatywna metoda prognostyczna.

Wnioski

Analizując wyniki w odniesieniu do obu spółek dystrybucyjnych, widać, że w obu spółkach w pierwszej trójce metod są: metoda naiwna, metoda zmodyfikowana Holta oraz metoda autoreregresji 4. rzędu [1]. Te metody są więc dość dobre. Przy czym nie można ściśle ustalić jednoznacznie, która z nich jest lepsza. Rozpatrując wykresy 8 oraz 9 wyraźnie widać, że dla dłuższych horyzontów prognoz (powyżej 6 lat) metoda zmodyfikowana Holta daje prognozy o wartościach mniejszych niż metoda naiwna oraz metoda autoregresji 4. rzędu (lekkie niedoszacowanie). Natomiastmetoda autoregresji 4. rzędu raczej podaje wartości prognoz większe niż inne metody. Im horyzont prognozy dłuższy, tym krzywe prognoz z 3 metod bardziej się od siebie oddalają w sposób liniowy. Charakterystyczne jest również to, że w przypadku obu spółek prognozy były stabilne i miały dość małe błędy dla pierwszych 2 - 3 lat prognozy, a w latach od 3 - 4 do 6 prognozy ulegały dość znacznemu pogorszeniu.

Ponadto warto rozważyć wykorzystanie więcej niż 1 metody, wybierając je odpowiednio w zależności od horyzontu prognozy. Dodać należy, że osobnej analizie jakości prognoz podlegała jedna z metod chaosu deterministycznego wspomagana algorytmami ewolucyjnymi (metoda oparta na równaniu logistycznym Prigogine’a) [1], nieprzedstawiona w artykule. Jakość tych prognoz w porównaniu z metodami opisanymi była nieco lepsza w przypadku spółki dystrybucyjnej RWE Polska, natomiast nieco gorsza w przypadku spółki dystrybucyjnej PGE-ZEWT (w porównaniu do najlepszych wyników opisanych w tym artykule). Tym niemniej przyjmuje się, że metoda oparta równaniu logistycznym Prigogine’a wspomagana algorytmami ewolucyjnymi jest bardzo dobra i zalecana do prognoz wieloletnich, szczególnie tych o dużym horyzoncie prognozy.

***

Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2007 - 2010 jako projekt badawczy

Literatura

1. Piotrowski P., Baczyński D., Parol M., Kujszczyk S., Wasilewski J., Zdun T., Wójtowicz T., Helt P.: „Zaawansowane hybrydowe systemy sztucznej inteligencji oraz narzędzia statystyczne do prognoz zapotrzebowania na energię elektryczną o różnych horyzontach czasowych na potrzeby elektroenergetycznych spółek dystrybucyjnych”. Projekt badawczy własny MNiSW Nr N N511 0973 33 (kierownik projektu – Piotrowski P.), Warszawa, luty 2010
2. Cieślak M.:„Prognozowanie gospodarcze – metody i zastosowania” Wydawnictwo Naukowe PWN 2002
3. Prognozowanie w elektroenergetyce. Zagadnienia wybrane. Praca zbiorowa pod redakcją Ireny Dobrzańskiej. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2002.
4. Dobrzańska I.: Wymiar Hausdorffa jako narzędzie predykcji krokowej. Badania Operacyjne i Decyzje. 1991, Nr 2.
5. Dobrzańska I.: Równanie Prigogine’a jako narzędzie prognozy długoterminowej zapotrzebowania na energie elektryczną. Materiały Konferencji Naukowej „Aktualne Problemy w Elektroenergetyce APE’93”. Gliwice-Kozubnik, 16-17 września 1993.
6. Dobrzańska I., Dąsal K.: Modele prognostyczne Prigogine’a, Schustera i fraktalowe w 10-letniej prognozie zużycia energii w Europie. Materiały IV Konferencji Naukowej „Prognozowanie w Elektroenergetyce PE’98”. Częstochowa 1998.
7. Sztuczna inteligencja w praktyce. Laboratorium. Praca zbiorowa pod redakcją Mirosława Parola i Pawła Piotrowskiego. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2008.
8. Beliczyński B., Ribeiro R..:Tuning parameters of the Simple Forecasting Models, Przegląd Elektrotechniczny, nr.12/2006, Warszawa 2006
9. Beliczyński B., Piotrowski P.: Prognozowanie długoterminowe rocznego zapotrzebowania na energię elektryczną w spółce dystrybucyjnej STOEN S.A. z wykorzystaniem zmodyfikowanej metody Holta, Przegląd Elektrotechniczny , nr.1/2008, str.58-6
10. Piotrowski P.: “The optimum selection of data for forecasts of demand on electric energy consumption for different time horizons”, 2nd International Youth Conference on Energetics 2009, Budapeszt 4-6 czerwca 2009
11. Helt P., Parol M., Piotrowski P.: „Metody sztucznej inteligencji w elektroenergetyce”, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000
12. Malko J.: „Wybrane zagadnienia prognozowania w elektroenergetyce”, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1995,
13. Radzikowska B.:„Metody prognozowania – zbiór zadań” Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu 2001 r.
14. Zawadzki P.: „Prognozowanie przepięć prowokowanych przez wyładowania atmosferyczne w liniach przesyłowych”, Elektro.info, numer 11/2004
15. www.stoen.pl - raport roczny za rok 2003, plik w formacie pdf.
16. Willis H. L.: Spatial electric load forecasting. Marcel Dekker, Inc. New York – Basel, 2002

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!