Odwzorowanie indukcyjności własnych w modelu obwodowym maszyny synchronicznej jawnobiegunowej

Między innymi z tego powodu parametry elektromagnetyczne występujące w modelach matematycznych maszyn synchronicznych są najczęściej przedstawiane w tzw. osi dq0 [7]. Uwzględnienie większej ilości wyższych harmonicznych powoduje, że przekształcenie Parka nie eliminuje wpływu elektrycznego kąta położenia wirnika na rozkłady indukcyjności w osi dq0 [5, 7].

W takim przypadku parametry modelu maszyny synchronicznej wygodniej jest przedstawić w układzie osi naturalnych stojana i wirnika (zwykle dla parametrów stojana związanych z osiami uzwojeń stojana i dla parametrów wirnika związanych z osiami uzwojeń wirnika). Równania strumieniowo-napięciowe dla modelu maszyny synchronicznej w układzie osi naturalnych stojana i wirnika bez obwodów tłumiących z uwzględnieniem elektrycznego kąta położenia wirnika Θ można zapisać jako [5]:

gdzie:

a, b i c – indeksy uzwojeń pasmowych stojana,

f – indeks uzwojenia wzbudzenia,

R_a, R_b, R_c – rezystancje uzwojeń pasmowych stojana,

R_f – rezystancja uzwojenia wzbudzenia,

L_a, L_b, L_c i L_f – indukcyjności własne uzwojeń pasmowych stojana oraz uzwojenia wzbudzenia,

L_ab, L_bc, L_ca oraz L_ba, L_cb, L_ac – indukcyjności wzajemne uzwojeń pasmowych stojana,

L_af, L_bf, L_cf oraz L_bf, L_cf, L_af – indukcyjności wzajemne uzwojeń pasmowych stojana i uzwojenia wzbudzenia,

  – operator umożliwiający wyznaczenie pochodnych cząstkowych rozkładów indukcyjności z uwzględnieniem elektrycznego kąta położenia Θ wirnika,

i_sf=[i_a, i_b, i_c, i_f]^T – macierz prądów pasmowych stojana i uzwojenia wzbudzenia,

u_sf=[u_a, u_b, u_c, u_f]^T – macierz napięć fazowych uzwojeń pasmowych stojana oraz napięcia uzwojenia wzbudzenia,

– elektryczna prędkość kątowa,

p_b – liczba par biegunów.

Przedstawione zależnością (1) równania strumieniowo-napięciowe dla modelu maszyny synchronicznej uzupełnia się równaniem momentów [5]:

gdzie:

J – moment bezwładności,

T_L – moment obciążenia,

D – współczynnik tarcia,

L_sf – macierz indukcyjności własnych i wzajemnych.

Producenci maszyn synchronicznych szczególnie małej mocy (do kilkudziesięciu kVA) praktycznie nie udostępniają parametrów elektromagnetycznych obwodowych modeli matematycznych opisanych zależnościami strumieniowo-napięciowymi (1) i (2) lub nawet w osi dq0.

Aby przeprowadzić badania symulacyjne zachowania się maszyny synchronicznej w stanach statycznych i dynamicznych, należy rozwiązać układ równań różniczkowych (1) oraz (2), w którym wymagana jest znajomość rozkładów indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń pasmowych stojana i uzwojenia wzbudzenia. Rozkłady indukcyjności własnych i wzajemnych z uwzględnieniem nierównomierności szczeliny powietrznej pomiędzy stojanem i wirnikiem można wyznaczyć za pomocą funkcji uzwojeń ε (ϑ, α) [8, 9]:

gdzie:

μ₀ – przenikalność magnetyczna próżni (4∏·10^–7 H/m),

r – średni promień szczeliny powietrznej,

l_e – efektywna długość rdzenia stojana,

δ_e – efektywna grubość szczeliny powietrznej,

ε_m, ε_n – funkcje uzwojeń,

ϑ – kąt elektryczny wzdłuż obwodu magnetycznego,

φ – kąt między osią uzwojenia fazy a i k-tą osią dowolnego uzwojenia.

W zależności (3) analityczne uwzględnienie dużej ilości szczegółów konstrukcyjnych maszyny synchronicznej występujących w szczelinie powietrznej po stronie stojana i wirnika (szczególnie dla maszyny jawnobiegunowej) jest dość pracochłonne, a obliczenia indukcyjności własnych L_mv oraz wzajemnych L_mnv dla v-tej harmonicznej przestrzennej wykonuje się za pomocą potrójnego szeregu Fouriera [8]:

gdzie:

α_m – jest połażeniem kątowym osi symetrii m-tego uzwojenia względem osi będącej odniesieniem na stojanie np. osi uzwojenia pasma a,

α_n – jest położeniem kątowym osi symetrii n-tego uzwojenia względem osi będącej odniesieniem na wirniku np. osi podłużnej,

r – indeks harmonicznej związanej z wirnikiem,

s – indeks harmonicznej związanej ze stojanem,

ϑ – oznacza elektryczne położenie kątowe osi odniesienia na wirniku względem osi odniesienia na stojanie, przy czym zależność pomiędzy kątem elektrycznym położenia wirnika ϑ i kątem mechanicznym ϑ_m wynosi ϑ=ϑ_mp_b.

Dla rzeczywistej maszyny synchronicznej jawnobiegunowej (z nierównomierną szczeliną po stronie stojana i wirnika oraz z dwukrotną zmianą permeancji obwodu magnetycznego wirnika w osi podłużnej i poprzecznej w funkcji elektrycznego kąta położenia wirnika) obliczanie indukcyjności własnych i wzajemnych z zależności (4) jest dość złożone [8, 10]. Dlatego najczęściej indukcyjności uzwojeń pasmowych stojana i wirnika dla maszyny synchronicznej jawnobiegunowej w zależności (1) określa się w sposób eksperymentalny [4, 11] lub na podstawie utworzonego modelu polowego lub polowo-obwodowego za pomocą programów komercyjnych, m.in. takich jak: OPERA, Maxwell, Flux [3, 12] lub własnego oprogramowania [2].

Zarówno sposób eksperymentalny, jak i polowy prowadzi do aproksymacji charakterystyk częstotliwościowych za pomocą poszukiwanych parametrów elektromagnetycznych występujących w zależnościach (1) oraz (2). Bardzo dobre wyniki podczas obliczania indukcyjności uzyskuje się przy połączeniu modelu obwodowego z modelem polowym (tzw. metoda polowo-obwodowa) przy wykorzystaniu programów bazujących na metodach elementów skończonych [3, 6, 12], krawędziowych [2] itp. Obliczenia rozkładu pola przeprowadza się przy wykorzystaniu modeli w 2D lub w 3D.

W artykule parametry elektromagnetyczne występujące w modelu obwodowym maszyny synchronicznej opisanymi zależnościami (1) i (2) wyznaczono za pomocą niekomercyjnego programu FEMM [1, 13] (w wersji 4.22 możliwe jest wyznaczanie parametrów elektromagnetycznych dla modeli polowych tylko w 2D). Wyznaczenie indukcyjności własnych uzwojeń pasmowych stojana i uzwojenia wzbudzenia przeprowadzono dla generatora synchronicznego jawnobiegunowego o danych znamionowych: S_N=5.5 kVA, U_N=400 V (Y), n_N=3000 obr./min, I_N=7.9 A, cosα_N=0.8, liczba żłobków stojana Q_s=24, p_b=1, kąt skosu wirnika α_q=15°.

Indukcyjności własne obliczono z uwzględnieniem rzeczywistych danych konstrukcyjnych obwodu stojana i wirnika oraz uzwojeń, otrzymanych od producenta generatorów synchronicznych stosowanych w zespołach prądotwórczych. Obliczenia przeprowadzono dla generatora synchronicznego jawnobiegunowego ze skosem i bez skosu wirnika. W obliczeniach rozkładu indukcyjności własnych i wzajemnych (w funkcji elektrycznego kąta położenia wirnika Θ) uwzględniono jednowarstwowe uzwojenie, jakie fabrycznie zostało ułożone w żłobkach stojana badanej maszyny synchronicznej jawnobiegunowej. Odwzorowanie indukcyjności wzajemnych uzwojeń pasmowych stojana i uzwojenia wzbudzenia dla liniowego modelu generatora synchronicznego jawnobiegunowego zostanie przedstawione w kolejnej części artykułu.

Na rysunku 1. przedstawiono linie rozkładu gęstości pola magnetycznego od prądu 1  A płynącego w uzwojeniu pasma a stojana (4 górne żłobki i 4 dolne żłobki) wraz z widokiem gęstości siatki dyskretyzacyjnej zastosowanej do obliczeń polowych w programie FEMM z wykorzystaniem MES). Ciemniejszy obszar maszyny synchronicznej oznacza bardziej zagęszczoną siatkę dyskretyzacyjną, w którym liczony jest rozkład pola magnetycznego. Na rysunku 1. widoczne jest początkowe położenie wirnika Θ0=0.

Indukcyjności własne uzwojeń pasmowych stojana

Na rysunku 2. przedstawiono rozkłady indukcyjności własnych uzwojeń pasmowych stojana L_a,L_b,L_c (bez skosu wirnika) oraz L_as,L_bs,L_cs (ze skosem wirnika) w funkcji zmian elektrycznego kąta położenia wirnika Θ oraz porównanie La i Las. Rozkłady indukcyjności L_b i L_bs są przesunięte względem pasma a o 60° elektrycznych, natomiast indukcyjności L_c i L_cs są przesunięte o 120° elektrycznych. W przedstawionych rozkładach indukcyjności własnych stojana L_a i L_as (rys. 2b) widoczny jest:

• wzrost indukcyjności własnych wówczas, gdy oś podłużna wirnika zbliża (rys. 1.) się do osi uzwojenia danego pasma,
• zmniejszenie wartości indukcyjności własnych wówczas, gdy oś poprzeczna wirnika (rys. 1.) zbliża się do osi uzwojenia danego pasma,
• udział wartości stałej indukcyjności [9]:

• udział wyższych harmonicznych wynikających z dyskretnego rozłożenia uzwojeń pasmowych stojana w 24 żłobkach,
• wpływ skosu wirnika na ograniczenie występowania wyższych harmonicznych.

Rozkłady indukcyjności własnej L_a i L_as (rys. 2b) poddano analizie Fouriera. Na rysunku 3a przedstawiono procentowe porównanie udziału zawartości wyższych harmonicznych przestrzennych amplitud występujących w rozkładach indukcyjności własnej La i Las liczone względem składowej stałej La0 i Las0 o wartości 0.134 H. Na rysunku 3b przedstawiono wpływ skosu wirnika na v-tą harmoniczną przestrzenną indukcyjności własnej uzwojenia stojana.

Z analizy przedstawionego spektrum na rysunku 3. wynika, że wprowadzenie skosu wirnika (w niniejszym przypadku dla 24 żłobków stojana skos wynosi 15°):

• nie wpływa na zmianę wartości składowej stałej indukcyjności własnej uzwojeń pasmowych stojana,
• wpływa na tłumienie wyższych harmonicznych, których źródło pochodzi jednocześnie z wzajemnego sprzężenia obwodu magnetycznego stojana i wirnika (poprzez nierównomierności szczeliny powietrznej na stojanie i wirniku),
• powoduje nieznaczne zmniejszenie najbardziej widocznych w widmie 2. i 4. harmonicznej (rys. 3a), natomiast znaczne ograniczenie wyższych harmonicznych leżących w pobliżu 24. harmonicznej i ich wielokrotności, będące wynikiem oddziaływania skosu wirnika (rys. 3c).

Tłumiące działanie skosu wirnika określa współczynnik skosu k_q względem żłobków stojana (rys. 3c), który dla v-tej harmonicznej opisany jest wyrażeniem [9]:

gdzie:

α_q – kąt skosu wirnika liczony wzdłuż jego długości.

Współczynnik ten przyjmuje wartości zero dla argumentu:

gdzie k jest liczbą całkowitą. W rozpatrywanym przypadku dla fabrycznego skosu α_q=15° zerowaniu ulegają harmoniczne 12. i jej wielokrotności. Bardzo niewielkie ich wartości (24., 48., i 72. harmoniczna – czerwone słupki na rysunku 3b) wynikają z błędów obliczeń numerycznych występujące w modelu polowym.

Często w obliczeniach numerycznych indukcyjności własne L_a, L_b, L_c (bez skosu) lub L_as, L_bs, L_cs (ze skosem) odwzorowuje się za pomocą składowej stałej i 2. harmonicznej. Odwzorowanie indukcyjności własnych L_a i L_as sumą składowej stałej i 2. harmoniczną (L_a0+L_a2 i L_as0+L_as2) oraz sumą L_a0+L_a2+ L_a4 i L_as0+L_as2+L_as4, tzn. z uwzględnieniem również 4. harmonicznej przedstawia rysunek 4.

Na rysunku 5. przedstawiono wykres różnic występujących przy odwzorowaniu indukcyjności własnej uzwojenia pasmowego stojana ΔL_a dla wirnika bez skosu oraz ΔL_as ze skosem:

ΔL_{a (0+2)} oraz ΔL_{as (0+2)} – wykres będący różnicą indukcyjności własnej uzwojenia pasmowego stojana oraz sumy jej składowej stałej i 2. harmonicznej:

ΔL_a (0+2+4) oraz ΔL_as (0+2+4) – wykres będący różnicą indukcyjności własnej uzwojenia pasmowego stojana oraz sumy jej składowej stałej, 2. i 4. harmonicznej:

W przypadku odwzorowania indukcyjności własnych sumą L_a0+L_a2 oraz L_as0+L_as2 wartości różnic (rys. 5.) nie przekraczają 6,3 mH (tj. 4.7% względem składowej stałej). Odwzorowanie indukcyjności własnych sumą L_a0+L_a2+L_a4 i L_as0+L_as2+L_as4 tzn. z uwzględnieniem 4. harmonicznej wprowadza wartości różnic (rys. 5.), które nie przekraczają 1 mH (tj. 0.7% względem składowej stałej). Na podstawie rysunków 2–4 można utworzyć zależności opisujące przestrzenny rozkład indukcyjności własnych uzwojeń pasmowych stojana generatora synchronicznego jawnobiegunowego ze skosem i bez skosu wirnika w funkcji kąta położenia wirnika Θ:

Pomimo dobrego odwzorowania indukcyjności własnych uzwojeń stojana sumą składowej stałej i drugiej harmonicznej, uwzględnienie szerszego spektrum wyższych harmonicznych w rozkładach indukcyjności jest ważne, gdyż na podstawie przyjętego do obliczeń rozkładu indukcyjności w zależności (1) liczone są pochodne. Z przedstawionego spektrum harmonicznych rozkładu indukcyjności własnych (rys. 3.) widać, że dla maszyny synchronicznej jawnobiegunowej bez skosu, przykładowo udział 72. harmonicznej wynosi 0.18% (względem składowej stałej) i jest wprawdzie niewielki, ale w przypadku obliczania pochodnej indukcyjności występującej w wyrażeniu (1):

jej wartość zostanie wzmocniona v razy (poprzez wartość wynikającą z rzędu pochodnej v), np. dla indukcyjności pasma a pochodną z zależności (8) dla 72. harmonicznej zostanie wzmocniona 72 razy czyli do 13%.

Indukcyjność własna uzwojenia wzbudzenia

Na rysunku 6. przedstawiono rozkład indukcyjności własnej obwodu wzbudzenia L_f (bez skosu wirnika) oraz L_fs (ze skosem wirnika) w funkcji zmian kąta położenia wirnika Θ.

Na podstawie rysunku 6. widać stałą wartość indukcyjności własnej obwodu wzbudzenia Lf oraz Lfs wynoszącą 4.97 H oraz niewielką składową przemienną o amplitudzie 11 mH (bez skosu wirnika), czyli 0.2% (względem składowej stałej). Wprowadzenie skosu wirnika wpływa na znaczną redukcję składowej przemiennej do amplitudy 1 mH czyli 0.02% (względem składowej stałej). Rozkłady indukcyjności własnych uzwojenia wzbudzenia (L_f oraz L_fs – rys. 6.) poddano analizie Fouriera. Na rysunku 7. przedstawiono najważniejsze udziały wyższych harmonicznych amplitud indukcyjności własnej uzwojenia wzbudzenia IHDL_f oraz IHDL_fs i tłumiące działanie rozwarcia żłobkowego na v-tą harmoniczną.

Z przedstawionej zawartości wyższych harmonicznych na rysunku 7. wynika, że wprowadzenie skosu wirnika αq=15° (dla 24 żłobków stojana):

• nie wpływa na zmianę wartości składowej stałej indukcyjności własnej uzwojenia wzbudzenia L_f0 i L_fs0,
• wpływa na redukcję wyższych harmonicznych, których źródło pochodzi jednocześnie z wzajemnego sprzężenia obwodu magnetycznego stojana i wirnika poprzez nierównomierności szczeliny powietrznej,
• wpływa na zmniejszenie 24. harmonicznej i ich całkowitych wielokrotności, będących wynikiem oddziaływania skosu wirnika oraz rozwarciem żłobkowym stojana.

Działanie skosu wirnika określone współczynnikiem skosu k_q zostało opisane podczas analizy indukcyjności własnej uzwojeń pasmowych stojana. Natomiast tłumienie wyższych harmonicznych w indukcyjności wzbudzenia spowodowane rozwarciem żłobkowym stojana określa się współczynnikiem, który dla v-tej harmonicznej wynosi [9]:

Dla liczby par biegunów p_b = 1 współczynnik:

gdzie:

α – kąt rozwarcia żłobka,

v – rząd harmonicznej.

Wartości współczynnika rozwarcia żłobkowego w zależności od rzędu harmonicznej v widoczne są na rysunku 7c. Na rysunku 8. przedstawiono sposób odwzorowania indukcyjności własnych L_f (bez skosu) i L_fs (ze skosem) sumą składowej stałej i najbardziej znaczącymi: 24. harmoniczną (L_f0+L_f24 oraz L_fs0+L_fs24) i 72. harmoniczną (L_f0+L_f72 oraz L_fs0+L_fs72) oraz sumą L_f0+L_f24+L_f48+L_f72 i L_fs0+L_fs24+L_fs48+L_fs72, tzn. z uwzględnieniem 48. harmonicznej. Dla lepszej widoczności odwzorowanie indukcyjności własnych L_f i L_fs przedstawiono dla kąta Θ do 180°.

Na podstawie przedstawionych na rysunkach 6–8 rozkładów indukcyjności oraz ich widma amplitudowego można utworzyć następujące zależności opisujące przestrzenny rozkład indukcyjności własnych uzwojenia wzbudzenia ze skosem i bez skosu wirnika w funkcji kąta położenia wirnika Θ:

Najczęściej w modelu obwodowym (1) i (2) nie uwzględnia się pochodnych indukcyjności własnych uzwojenia wzbudzenia zarówno bez skosu wirnika:

a w obliczeniach numerycznych indukcyjności własne wzbudzenia L_f oraz L_fs odwzorowuje się tylko za pomocą składowej stałej (rys. 6.). Z przedstawionych rozkładów indukcyjności (rys. 7.) widać, że wprawdzie zmiany rozkładu indukcyjności są niewielkie (w zakresie 11 mH dla L_f czyli 0.2% oraz 1 mH dla L_fs czyli 0.02%), ale zmiany te (szczególnie dla maszyn z wirnikiem bez skosu) są o dużych stromościach, co będzie miało już znaczny wpływ na wartości pochodnych indukcyjności własnej L_f w zależnościach (1) i (2).

Z przedstawionego spektrum harmonicznych rozkładu indukcyjności własnej (rys. 7.) widać, że dla maszyny synchronicznej bez skosu wirnika udział 24. harmonicznej L_f24 wynosi 0.16% (względem składowej stałej), natomiast wartość 72. harmonicznej L_f72 wynosi 0.17% i w odniesieniu do składowej stałej wartości te są bardzo małe. Jednak w przypadku obliczania pochodnych z indukcyjności własnych uzwojenia wzbudzenia dla v-tej harmonicznej – zależność (9) wynika, że ich wartości zostaną wzmocnione odpowiednio 24 razy i 72 razy według zależności:

Ich wartości w pochodnej indukcyjności uzwojenia wzbudzenia wzrosną odpowiednio do 3.84% (dla 24. harmonicznej) i 12.24% (dla 72. harmonicznej).

Podsumowanie

W artykule przedstawiono udział zawartości wyższych harmonicznych w opisie rozkładu indukcyjności własnych dyskretnie rozłożonych uzwojeń pasmowych stojana i skupionego uzwojenia wzbudzenia dla liniowego modelu maszyny synchronicznej na przykładzie generatora synchronicznego jawnobiegunowego o mocy 5.5 kVA. Indukcyjności własne wyznaczono za pomocą niekomercyjnego programu FEMM w funkcji kąta położenia wirnika na podstawie obliczonego rozkładu strumienia magnetycznego skojarzonego z uzwojeniem pasowym stojana i wzbudzenia.

Odwzorowanie indukcyjności własnych w modelu liniowym przeprowadzono przy uwzględnieniu rzeczywistej niesymetrii obwodu magnetycznego występującej w szczelinie powietrznej modelu generatora synchronicznego jawnobiegunowego. Należy pamiętać, że w przypadku programów 2D (np. FEMM lub Flux 2D itp.) obliczone indukcyjności uzwojeń należy powiększyć o indukcyjności połączeń czołowych. W wielu przypadkach obliczeniowych indukcyjności połączeń czołowych można pominąć z uwagi na niewielkie ich wartości, wynoszące co najwyżej kilkadziesiąt procent wartości indukcyjności rozproszeń (dla przypadków długich połączeń czołowych uzwojeń).

Analiza zawartości wyższych harmonicznych dla obwodowych modeli generatorów synchronicznych bez skosu wirnika (szczególnie pracujących jako rezerwowe źródło zasilania) pozwala do ostatecznego opisu wybrać te harmoniczne, których pochodne będą miały decydujący wpływ na kształt indukowanych napięć oraz pod ich wpływem na kształt płynących prądów (przy jednoczesnym niekomplikowaniu opisu modeli matematycznych). Przy czym, jak pokazano w niniejszym artykule, znacznie mniejszy udział w równaniach strumieniowo-napięciowych będą posiadać wartości amplitud wyższych harmonicznych indukcyjności własnych niż ich pochodne.

Program FEMM 2D umożliwia również wyznaczenie rozkładu indukcyjności własnych z uwzględnieniem skosu wirnika. W tym celu w obliczeniach rozkładu indukcyjności wykorzystano własny program napisany w języku skryptowym LUA, który umożliwia automatyczną zmianę położenia wirnika o zadany kąt i kilkukrotne powtórzenie obliczeń z jednoczesnym zapisem wyników. Ostatnie obliczenie przeprowadza się dla położenia równego końcowemu skosowi wirnika. Z doświadczenia autora wynika, że dla dużej gęstości siatki dyskretyzacyjnej stanowiącej 155 000 węzłów (jaką przedstawiono na rysunku 1.) wyniki obliczeń rozkładów indukcyjności z zastosowaniem programów komercyjnych na tym samym zestawie komputerowym są podobne, ale trwają wielokrotnie dłużej niż w programie FEMM.

Literatura

1. Burlikowski W.: Comparison of different implementations of reluctance motor simulational model. Proceedings of XLIII International Symposium on Electrical Machines, Poland, Poznań, 2 - 5 June 2007, s.147 - 150.
2. Demenko A., Nowak L., Pietrowski W., Mikołajewicz J.: Wyznaczanie indukcyjności głównej maszyny indukcyjnej z nasyconym obwodem magnetycznym metodą elementów krawędziowych, Przegląd Elektrotechniczny Nr 6, 2009, ss. 13 - 16.
3. Kisielewski P., Antal F. L.: Polowo - obwodowy model turbogeneratora. Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Nr 59 Studia i Materiały Nr 26, 2006.
4. Ludwinek K., Staszak J.: Possibility of graphical environment applications for evaluating of equivalent circuit parameters and time constants, Przegląd Elektrotechniczny. 12a. 2011, pp. 195 - 200.
5. Puchała A.: Dynamika Maszyn i Układów Elektromechanicznych. PWN, Warszawa 1997.
6. Rossa R.: Metoda polowo-obwodowa obliczania charakterystyk elektromechanicznych synchronicznych silników reluktancyjnych. Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne BOBRME „Komel”, Nr 93, 2011, s. 53 - 58.
7. Sobczyk T. J.: Extreme Possibilities of Circuital Models of Electric Machines Electrical Power Quality and Utilisation, Vol.VII, No 2, 2006. pp. 103 – 110.
8. Sobczyk T. J.: Metodyczne Aspekty modelowania matematycznego maszyn indukcyjnych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004.
9. Staszak J.: Kształtowanie charakterystyk elektromechanicznych trójfazowego silnika indukcyjnego klatkowego poprzez dobór uzwojenia stojana oraz układu zasilania. Wydawnictowo Politchniki Świętokrzsyskiej. Monografia M31, Kielce 2012.
10. Tessarolo A.: Accurate Computation of Multiphase Synchronous Machine Inductances Based on Winding Function Theory., IEEE Transactions on Energy Conversion Vol.: 27, 2012 pp: 895 - 904.
11. Wiak S., Nadolski R., Ludwinek K., Staszak J.: Influence of the Synchronous Cylindrical Machine Damping Cage on Content of Higher Harmonics in Armature Currents During Co-Operation with the Distorted and Asymmetrical Electric Power System Computer Engineering in Applied Electromagnetism, IOS Press, 2006, pp. 520 – 527.
12. Zalas P., Zawilak J.: Gentle synchronization of two-speed synchronous motor with asynchronous starting. Electrical Engineering (Berlin). 2012, vol. 94, nr 3, s. 155 - 163.
13. http://www.femm.info/wiki/HomePage

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!