Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Zastosowanie wykładnika Lapunowa jako kryterium stabilności SEE (dokończenie)
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Rys. Elektro.Info
Ciąg dalszy artykułu...

Zgodnie z pierwszą metodą Lapunowa układ nieliniowy opisany równaniem będzie stabilny asymptotycznie w lokalnym otoczeniu punktu pracy y0, jeśli jego przybliżenie liniowe (gdzie A jest to macierz Jacobiego określona w punkcie y0) będzie stabilne asymptotycznie. Jeśli przybliżenie liniowe jest niestabilne, to układ nieliniowy jest również niestabilny. Natomiast jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to o zachowaniu się układu nieliniowego nie można nic powiedzieć.

Układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność zależy jedynie od wartości własnych macierzy A i nie zależy od warunków początkowych y0.

Wartości własne macierzy A wyznacza się rozwiązując równanie det, gdzie są to wartości własne, a I – macierz jednostkowa.

Dla równania (3) Jacobian ma postać:

(5)

Natomiast wartości własne otrzymuje się rozwiązując równanie:

  (6)

Wartości własne zlinearyzowanego układu równań (3) wynoszą zatem:

(7)

Analizując części czynne i bierne wartości własnych można określić rodzaj punktu stałego.

Tab. 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3)
Tab. 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3)

tab. 2. zestawiono rodzaje występujących punktów stałych równania (3) w zależności od wartości kąta δ oraz parametrów systemu.

Zgodnie z tab. 2. punkt stały leżący w przedziale jest punktem stałym stabilnym, natomiast drugi punkt leżący w przedziale  jest to punkt stały niestabilny.

W punkcie krytycznym następuje bifurkacja siodło-węzeł. Jeśli moc mechaniczna Pm przekroczy maksymalną wartość mocy elektrycznej Pe, jaką można przesłać do systemu (Pm > Pe(δ)max = Pem)), wówczas znikają oba punkty stałe i układ traci stabilność.

Zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej, w zakresie stabilnej pracy (czyli tam, gdzie istnieją oba punkty stałe) wykładniki Lapunowa przyjmują wartości ujemne, natomiast w punkcie bifurkacji największy wykładnik przyjmuje wartość równą zero. Tę zmianę wartości wykładnika można użyć jako kryterium stabilności analizowanego układu. Pokazano to na rys. 4. i rys. 5., na których widać największy wykładnik Lapunowa w zależności od wartości reaktancji linii łączącej generator z siecią sztywną oraz mocy mechanicznej Pm.

Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x; rys. O. Małyszko
Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x; rys. O. Małyszko Rys. 5. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości mocy mechanicznej Pm; rys. O. Małyszko

Na obydwu rysunkach widać, że po przekroczeniu pewnej wartości parametru kontrolnego (reaktancji linii na rys. 4. i mocy mechanicznej na rys. 5.) układ tracił stabilność. W punkcie bifurkacji znikają oba punkty stałe.

W praktyce, dla kontroli stabilności systemu wystarczy monitorować wartość wykładnika Lapunowa. Zbliżanie się jego wartości do zera jest sygnałem o możliwej utracie stabilności przez system.

Dla określenia odległości od granicy stabilności wprowadza się współczynnik zapasu stabilności kp (8):

  (8)

gdzie:

 – moc graniczna.

Dla otrzymanych wyników wyznaczono współczynnik korelacji między największym wykładnikiem Lapunowa (rys. 5.) a wartością współczynnika zapasu stabilności kp i otrzymano wartość ρ(λ, kp) = –0,954. Wysoka wartość współczynnika korelacji świadczy o dużej zależności między wykładnikiem Lapunowa a współczynnikiem zapasu stabilności.

Wnioski

W artykule przedstawiono propozycję wykorzystania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego. Metodę przedstawiono na przykładzie prostego modelu fragmentu systemu złożonego z generatora przyłączonego do sieci sztywnej. Otrzymane wyniki świadczą, że wykładnik Lapunowa jest skorelowany ze współczynnikiem zapasu stabilności układu. Ponieważ wykładniki Lapunowa mogą być wyznaczane również z danych pomiarowych, istnieje możliwość wykorzystania przedstawionej metody do kontroli „online” zapasu stabilności w systemie.

Literatura

1. P. Bryant, Computation of Lyapunov Exponents from Experimental Data, Proceedings of the 1st Experimental Chaos Conference, Arlington, Virginia, October 1-3, 1991.
2. A. G. Darbyshire, Calculating Liapunov Exponents from a Time Series, IEE, Savoy Place, London, 1994.
3. T. S. Parker, L. O. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, Springer-Verlag, New York 1989.
4. T.S. Parker, L.O. Chua, Chaos: A Tutorial for Engineers, Proceedings of the IEEE, Special issue on chaotic systems, 09.1987.
5. A. Wolf, J. Swift, H. Swinney, J. Vastano, Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Physica D, vol. 16, 1985, pp. 285-317.

Czytaj też: Elektrooporowe badanie gruntu >>>

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!

Artykuł pochodzi z: miesięcznika elektro.info 10/2016

Wybrane dla Ciebie

 


Jak zoptymalizować sieci produkcyjne i sterujące »

Czy znasz, ekologiczną alternatywę dla agregatów »

drukarka etykiet systemy zasilania
Czujniki inteligentne działają coraz lepiej ze względu na dostępność coraz mniejszych i atrakcyjniejszych cenowo mikrokontrolerów. Dzięki nim nasze czujniki są w stanie (...) czytam więcej » W połączeniu z elektroniką prezentuje ona szczyt nowoczesnej technologii agregatów prądotwórczych (...) czytam dalej »

 


Szukasz  producenta komponentów przemysłowych? Sprawdź ich »

Kamery termowizyjne Dzięki wykorzystaniu innowacyjnych rozwiązań stosowanych w sektorze opieki zdrowotnej, zastosowaniach konsumenckich i przemysłowych, te podstawowe (...) czytam dalej »

 


 


Oznaczniki kabli i przewodów - jakie wybrać »

Gdzie znajdziesz systemy zasilania dla każdej dziedziny przemysłu »

drukarka etykiet systemy zasilania
Sposoby oznaczania kabli i przewodów w elektrycznych są różne.Jedne mniej trwałe, a inne (...) czytam więcej » Oferują zaawansowane usługi badawczo-rozwojowe obejmujące elektronikę, wbudowane oprogramowanie, mechanikę systemu zasilania (...) czytam dalej »

 


Gdzie znajduje zastosowanie współczesna termowizja?

Kamery termowizyjne Zadbaj o bezpieczeństwo i uniknij awarii. Za pomocą kamery termowizyjnej możliwe jest bezdotykowe sprawdzenie instalacji elektrycznej przy pełnym obciążeniu. Dzięki temu można (...) czytam dalej »

 


Jak odwzorować światło dzienne przy użyciu opraw oświetleniowych »

Bezpanelowe pozyskiwanie energii słonecznej - jak to zrobić?

Ośiwetlenie - jakie wybrać? bezpanelowa energia słoneczna
Rodzaj oświetlenia ma również fundamentalny wpływ na nasz wzrok oraz bezpośrednio wpływa na nasze ciało, umysł i (...) czytam więcej » Innowacje i technologia przeszły długą drogę. Rzeczywiście wkroczyliśmy w nową generację nowoczesnych udogodnień, które nie tylko sprawiają, że nasz styl życia jest bardziej luksusowy i komfortowy, ale... czytam dalej »

Jaką drukarkę do oznaczeń elektrycznych wybrać»

etykietowanie kabli i przewodów Priorytetem przy oznaczaniu sieci i jej poszczególnych elementów czy kolejnych aparatur w szafach rozdzielczych, kilometrów kabli, dziesiątek przełączników czy kolejnych aparatur w szafach rozdzielczych jest ...... czytam dalej »


Automatyka i czujniki - dlaczego to takie ważne »

Poznaj tajemnicę elektryków - złączki bezszynowe »

Czujniki i automatyka złączki bezszynowe
Zarówno w sektorze energetyki tradycyjnej jak i odnawialnej, czujniki oraz automatyka muszą być odporne na oddziaływaniu warunków środowiskowych. Ekstremalne ... czytam więcej » Czy wiesz jak wykonać montaż i jak można łączyć ze sobą złączki bez użycia szyn ... czytam dalej »

Zasilacze a odporność na zwarcia - dlaczego to takie ważne?

Promocje na kamery termowizyjne W sieciach zasilających obiekty przemysłowe i użyteczności publicznej powszechnie stosuje się zasilacze bezprzerwowe UPS w celu ochrony ważnych urządzeń odbiorczych, wrażliwyc ... czytam dalej »


Złącza silnoprądowe - czy silikon sobie poradzi?

Złącza silnopradowe Czy możemy zastosować elastyczne przewody silikonowe i czy są one odporne na uszkodzenie i wysokie temperatury? Przykładowo dla przekroju kabla 240 mm2 ... czytam dalej »


Może Cię to zainteresuje ▼

Wyświetlacz cyfrowy - jaki wybrać?

Kable i przewody - dobierz odpowiednie do swojego projektu »

wyświetlacze cyfrowe kable i przewody - jakie wybrać
Współpracujący z dowolnym nadajnikiem sygnału w standardzie 4-20 mA. Urządzenia nie wymagające dodatkowego zasilania. Do obszaru zastosowań ... czytam więcej » Właściwie wykonana i dostosowana do konkretnych zagrożeń środowiskowych instalacja elektryczna powinna do minimum ograniczać zagrożenia... czytam dalej »


Jak odwzorować światło dzienne przy użyciu opraw oświetleniowych »

Uwaga konkurs! Znasz "elektrycznych" producentów? Zagraj i wygraj atrakcyjne nagrody »

Oświetlenie jakie wybrać aby przypominało światło dzienne Konkurs
Rodzaj oświetlenia ma również fundamentalny wpływ na nasz wzrok oraz bezpośrednio wpływa na nasze ciało, umysł i ... czytam dalej » Weź udział w letnim konkursie i zgarnij nagrody. Co tydzien nowa gra i nowa szansa na wygraną. Sprawdź się i zawalcz o wygraną! chcę zagrać »

Co jeszcze potrafią enkodery Ethernet?

UPS zasilacze Rynek systemów przemysłowych dynamicznie się rozwija, a standard Industrial Ethernet jest przyszłością systemów (...) czytam dalej »


Jak komunikować urządzenia w środowisku przemysłowym?

Urządzenia przeciwprzepięciowe (SPD) - jakie wybrać ?

Switche zarządzalne spd ograniczniki przepięć
Switche niezarządzalne to urządzenia, które mają za zadanie przekazywanie danych między urządzeniami w wymagającym środowisku przemysłowym. Ich zadaniem jest zapewnienie przede wszystkim stabilnej, jak również wydajnej komunikacji.(...) czytam dalej » Ochronniki przepięciowe odpowiednie do zastosowań w instalacjach 230 V lub 400 V, systemy jedno- lub trójfazowe, wymienny moduł warystora i zamknięty moduł iskiernika, wizualna i zdalna sygnalizacja stanu warystora oraz ... czytam dalej »

Dodaj komentarz
Nie jesteś zalogowany - zaloguj się lub załóż konto. Dzięki temu uzysksz możliwość obserwowania swoich komentarzy oraz dostęp do treści i możliwości dostępnych tylko dla zarejestrowanych użytkowników naszego portalu... dowiedz się więcej »
6/2019

AKTUALNY NUMER:

elektro.info 6/2019
W miesięczniku m.in.:
  • - Wpływ stacji szybkiego ładowania pojazdów elektrycznych na sieć elektroenergetyczną
  • - Projekt zasilania oświetlenia terenu bazy logistycznej
Zobacz szczegóły
Cantoni Motor S.A. Cantoni Motor S.A.
Grupa Cantoni została pionierem w produkcji silników elektrycznych już w XIX wieku i od tego czasu kontynuuje misję wdrażania...
Dom Wydawniczy MEDIUM Rzetelna Firma
Copyright @ 2004-2012 Grupa MEDIUM Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością Spółka komandytowa, nr KRS: 0000537655. Wszelkie prawa, w tym Autora, Wydawcy i Producenta bazy danych zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów zabronione. Korzystanie z serwisu i zamieszczonych w nim utworów i danych wyłącznie na zasadach określonych w Zasadach korzystania z serwisu.
realizacja i CMS: omnia.pl