Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Zastosowanie wykładnika Lapunowa jako kryterium stabilności SEE (dokończenie)
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Rys. Elektro.Info
Ciąg dalszy artykułu...

Zgodnie z pierwszą metodą Lapunowa układ nieliniowy opisany równaniem będzie stabilny asymptotycznie w lokalnym otoczeniu punktu pracy y0, jeśli jego przybliżenie liniowe (gdzie A jest to macierz Jacobiego określona w punkcie y0) będzie stabilne asymptotycznie. Jeśli przybliżenie liniowe jest niestabilne, to układ nieliniowy jest również niestabilny. Natomiast jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie asymptotycznie, to o zachowaniu się układu nieliniowego nie można nic powiedzieć.

Układ liniowy jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste. Stabilność zależy jedynie od wartości własnych macierzy A i nie zależy od warunków początkowych y0.

Wartości własne macierzy A wyznacza się rozwiązując równanie det, gdzie są to wartości własne, a I – macierz jednostkowa.

Dla równania (3) Jacobian ma postać:

(5)

Natomiast wartości własne otrzymuje się rozwiązując równanie:

  (6)

Wartości własne zlinearyzowanego układu równań (3) wynoszą zatem:

(7)

Analizując części czynne i bierne wartości własnych można określić rodzaj punktu stałego.

Tab. 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3)
Tab. 2. Zestawienie rodzajów punktów stałych równania (3)

tab. 2. zestawiono rodzaje występujących punktów stałych równania (3) w zależności od wartości kąta δ oraz parametrów systemu.

Zgodnie z tab. 2. punkt stały leżący w przedziale jest punktem stałym stabilnym, natomiast drugi punkt leżący w przedziale  jest to punkt stały niestabilny.

W punkcie krytycznym następuje bifurkacja siodło-węzeł. Jeśli moc mechaniczna Pm przekroczy maksymalną wartość mocy elektrycznej Pe, jaką można przesłać do systemu (Pm > Pe(δ)max = Pem)), wówczas znikają oba punkty stałe i układ traci stabilność.

Zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej, w zakresie stabilnej pracy (czyli tam, gdzie istnieją oba punkty stałe) wykładniki Lapunowa przyjmują wartości ujemne, natomiast w punkcie bifurkacji największy wykładnik przyjmuje wartość równą zero. Tę zmianę wartości wykładnika można użyć jako kryterium stabilności analizowanego układu. Pokazano to na rys. 4. i rys. 5., na których widać największy wykładnik Lapunowa w zależności od wartości reaktancji linii łączącej generator z siecią sztywną oraz mocy mechanicznej Pm.

Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x; rys. O. Małyszko
Rys. 4. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości reaktancji linii x; rys. O. Małyszko Rys. 5. Zależność największego wykładnika Lapunowa od wartości mocy mechanicznej Pm; rys. O. Małyszko

Na obydwu rysunkach widać, że po przekroczeniu pewnej wartości parametru kontrolnego (reaktancji linii na rys. 4. i mocy mechanicznej na rys. 5.) układ tracił stabilność. W punkcie bifurkacji znikają oba punkty stałe.

W praktyce, dla kontroli stabilności systemu wystarczy monitorować wartość wykładnika Lapunowa. Zbliżanie się jego wartości do zera jest sygnałem o możliwej utracie stabilności przez system.

Dla określenia odległości od granicy stabilności wprowadza się współczynnik zapasu stabilności kp (8):

  (8)

gdzie:

 – moc graniczna.

Dla otrzymanych wyników wyznaczono współczynnik korelacji między największym wykładnikiem Lapunowa (rys. 5.) a wartością współczynnika zapasu stabilności kp i otrzymano wartość ρ(λ, kp) = –0,954. Wysoka wartość współczynnika korelacji świadczy o dużej zależności między wykładnikiem Lapunowa a współczynnikiem zapasu stabilności.

Wnioski

W artykule przedstawiono propozycję wykorzystania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego. Metodę przedstawiono na przykładzie prostego modelu fragmentu systemu złożonego z generatora przyłączonego do sieci sztywnej. Otrzymane wyniki świadczą, że wykładnik Lapunowa jest skorelowany ze współczynnikiem zapasu stabilności układu. Ponieważ wykładniki Lapunowa mogą być wyznaczane również z danych pomiarowych, istnieje możliwość wykorzystania przedstawionej metody do kontroli „online” zapasu stabilności w systemie.

Literatura

1. P. Bryant, Computation of Lyapunov Exponents from Experimental Data, Proceedings of the 1st Experimental Chaos Conference, Arlington, Virginia, October 1-3, 1991.
2. A. G. Darbyshire, Calculating Liapunov Exponents from a Time Series, IEE, Savoy Place, London, 1994.
3. T. S. Parker, L. O. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, Springer-Verlag, New York 1989.
4. T.S. Parker, L.O. Chua, Chaos: A Tutorial for Engineers, Proceedings of the IEEE, Special issue on chaotic systems, 09.1987.
5. A. Wolf, J. Swift, H. Swinney, J. Vastano, Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Physica D, vol. 16, 1985, pp. 285-317.

Czytaj też: Elektrooporowe badanie gruntu >>>

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!

Artykuł pochodzi z: miesięcznika elektro.info 10/2016

Wybrane dla Ciebie


Zapisz się do Ligi Specjalistów i zdobywaj nagrody!

Liga Specjalistów 2.0

Jesteś profesjonalistą z branży elektrycznej lub teletechnicznej?
Jesteś uczniem lub studentem kierunku technicznego?
czytam dalej »

 


Kompleksowe inspekcje termowizyjne - gdzie szukać pomocy? »

Termowizja inspekcja

Przez ostatnie stulecie zbudowano wiele urządzeń pomiarowych w zakresie podczerwieni, ale największe możliwości i popularność zyskały rozwiązania... czytam dalej »

 


Jaki silnik elektryczny wybrać? »

silnik elektryczny

W działaniu wielu maszyn i urządzeń technicznych wymagany jest ruch postępowy lub postępowo-zwrotny. Zazwyczaj ruch ten wytwarzają (...) czytam więcej »

 


Łączniki elektroinstalacyjne - rodzaje i sposób działania?

Oświetlenie zewnętrzne LED - dobór i zastosowanie»

Ranki łączniki gniazdka oswietlenie zewnętrzen LED
W każdej standardowej instalacji elektrycznej w budynku występują gniazda wtyczkowe oraz łączniki. Ich budowa oraz sposób zamocowania zależą od miejsca zainstalowania oraz metody wykonania (...) czytam więcej » Wymiana opraw oświetlenia zewnętrznego ze źródłami LED przynosi przede wszystkim poprawę efektywności energetycznej oświetlenia ulicznego. Oświetlenie LED posiada również (...) czytam dalej »

 


Przyrządy kontrolne i pomiarowe - zobacz niezawodne rozwiązania»

narzedzia pomiarowe dla elektryka Miernik napięcia, ciągłości i kolejności faz są zaprojekotwane do testowania napięcia, fazy, polaryzacji, kolejności faz i półprzewodników. Cyfrowy multimetr oraz cyfrowy miernik cęgowy oferują idealne rozwiązania dla wszystkich wymagań i możliwych zastosowań. Mierniki wykorzystują standardowe (...) czytam dalej »


Zobacz jakie oprawy zaprezentowano na Energetab 2019  »

Wiele nowych produktów od najlepszych w branży marek »

Samochody elektryczne i  mobilne stacje elektronika
Oświetlenie awaryjne ma zapewnić bezpieczne opuszczenie zajmowanych przestrzeni podczas awarii zasilania opraw oświetlenia podstawowego. Niejednokrotnie zanik oświetlenia podstawowego nie jest spowodowany zwykłą awarią zasilania czy wyłączeniem(...) czytam więcej » Poznaj pierwszy w branży przewodnik elektroniczny po złączach. Internetowe narzędzie referencyjne ułatwiające dobór złączy. (...) chcę zobaczyć »

 


Odpowiednie oświetlenie - prawidłowy dobór oświetlenia w projekcie »

projekt oświetlenia Są takie miejsca w domu, o których nie myśli się w pierwszej kolejności. Zostawia się je na później, dopiero wtedy, gdy zadba się o ważniejsze pomieszczenia. Tak jest często (...) czytam dalej »

 


Jak zapewnić bezprzerwowe zasilanie gwarantowane? »

Kolektor słoneczny – urządzenie do konwersji energii promieniowania słonecznego na ciepło »

zasilanie gwarantowane panele słoneczne
Co rusz znaczenie tego problemu uświadamiają nam przechodzące nad naszym krajem orkany i wichury oraz widmo blackoutu, wynikające z pojawiającego się latem ogromnego zapotrzebowania na ... czytam więcej » Udział energii słonecznej w Polsce jest bardzo niski i według urzędu statystycznego, pozyskanie energii z promieniowania słonecznego w porównaniu do innych źródeł odnawialnych w 2017 roku wyniósł niecałe 1%.... czytam dalej »

Szafy energetyczne, sterowniczne, rozdzielcze - dlaczego nie wiesz co wybrać? »

szafy rozdzielcze i sterownicze Zgrupowanie urządzeń elektroenergetycznych wraz z szynami zbiorczymi, połączeniami elektrycznymi, elementami izolacyjnymi i osłonami, służący do rozdziału energii elektrycznej i łączenia oraz ... czytam dalej »


Bezprzewodowa automatyka domowa - i możesz sterować wszystkim w domu »

Intuicyjne oprogramowanie do projektowania listew ze złączkami !

Automatyka domowa - sterowaniem ze smatfona Projektowanie listew - oprogramowanie
Nowoczesny smartdom powinien być gotów na każde życzenie. Dlatego rozwiązania bezprzewodowej automatyki domowej dają Ci zdalną kontrolę nad funkcjami Twojego domu - oświetleniem, roletami, ogrzewaniem ... czytam więcej » Intuicyjne oprogramowanie do projektowania listew ze złączkami oraz profesjonalnego opisywania oznaczników do złączek szynowych, przewodów, kabli, urządzeń i instalacji. Oprogramowanie dostępne jest bezpłatnie na stronie www ... chcę poznać »

Małe, średnie i duże systemy sterowania »

Sterowniki plc Jeszcze kilka lat temu sterowniki PLC „tylko” wspierały pracowników przy wykonywaniu monotonnych zadań i zwiększaniu szybkości produkcji. Aktualnie każda produkcja ... czytam dalej »


Złącza silnoprądowe - czy silikon sobie poradzi?

Złącza silnopradowe Czy możemy zastosować elastyczne przewody silikonowe i czy są one odporne na uszkodzenie i wysokie temperatury? Przykładowo dla przekroju kabla 240 mm2 ... chcę obejrzeć »


Może Cię to zainteresuje ▼

Wyświetlacz cyfrowy - jaki wybrać?

Technologie robotyczne zgodne z koncepcją Industry 4.0 » »

wyświetlacze cyfrowe robotyka i automatyka
Współpracujący z dowolnym nadajnikiem sygnału w standardzie 4-20 mA. Urządzenia nie wymagające dodatkowego zasilania. Do obszaru zastosowań ... czytam więcej » Nowoczesne urządzenia mechaniczne nic nie znaczyłyby bez ukrytej w nich elektroniki, dizęki której ... czytam dalej »


Odczyty cyfrowe - przyrządy przeznaczone do wyświetlania położenia »

czytniki cyfrowe Współpracują z przetwornikami przemieszczeń liniowych (liniały) i kątowych (enkodery). Wykonywane są w różnych wersjach dostosowanych do (...) czytam dalej »


1-fazowe liczniki energii elektrycznej - widziałeś to?!

Inteligentny system dystrybucji mocy »

Liczniki energii jakie wybrać moc
Wymagania stawiane licznikom energii elektrycznej zawarte są w normach oraz przepisach (...) czytam dalej » Uniwersalne zastosowanie, w pojedynczych szafach sterowniczych, jak też w kompletnych systemach... czytam dalej »

Dodaj komentarz
Nie jesteś zalogowany - zaloguj się lub załóż konto. Dzięki temu uzysksz możliwość obserwowania swoich komentarzy oraz dostęp do treści i możliwości dostępnych tylko dla zarejestrowanych użytkowników naszego portalu... dowiedz się więcej »
10/2019

AKTUALNY NUMER:

elektro.info 10/2019
W miesięczniku m.in.:
  • - Projekt zasilania pompowni pożarowej
  • - Przekładniki niekonwencjonalne wykorzystywane w automatyce elektroenergetycznej
Zobacz szczegóły
COMEX S.A. COMEX S.A.
O firmie COMEX S.A. od początku swojej działalności, tj. od 1987 zajmuje się kompleksową obsługą klientów w zakresie zasilania...

Ciekawe strony

Elektryk na Fixly.pl

EPS System - agregaty prądotwórcze

Producent oświetlenia

Ciekawa Architektura

Instalacje

Literatura fachowa

Rekuperacja

Termomodernizacja

Dom Wydawniczy MEDIUM Rzetelna Firma
Copyright @ 2004-2012 Grupa MEDIUM Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością Spółka komandytowa, nr KRS: 0000537655. Wszelkie prawa, w tym Autora, Wydawcy i Producenta bazy danych zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów zabronione. Korzystanie z serwisu i zamieszczonych w nim utworów i danych wyłącznie na zasadach określonych w Zasadach korzystania z serwisu.
realizacja i CMS: omnia.pl