Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Application of Lyapunov exponents to study the stability of the power grid
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Rys. Elektro.Info

Do najpoważniejszych awarii w pracy systemu SEE należy utrata stabilności. Zgodnie z zasadą, że „lepiej zapobiegać niż leczyć”, lepiej jest zapobiegać tego typu awariom niż naprawiać ich skutki. W tym celu konieczne jest wczesne zidentyfikowanie możliwości wystąpienia takiej awarii. Dlatego celem niniejszego artykułu jest zwrócenie uwagi na możliwość wykorzystania do analizy pracy SEE stosunkowo nowego narzędzia matematycznego, jakim są wykładniki Lapunowa.

 W analizowanym zagadnieniu istotne jest to, że w czasie normalnej pracy SEE wykładnik Lapunowa ma wartość ujemną, natomiast w punkcie utraty stabilności jego wartość przekracza zero. Oznacza to, że w miarę zbliżania się układu do punktu utraty stabilności wykładnik Lapunowa zbliża się do zera.

Tę właściwość można wykorzystać do wczesnego wykrywania groźby utraty stabilności przez SEE. W artykule przedstawiono to na przykładzie prostego modelu generator-sieć sztywna.

Definicja wykładników Lapunowa

Interpretację graficzną wykładnika Lapunowa (Lyapunov exponent) przedstawiono na rys. 1.

Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa; rys. O. Małyszko
Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa; rys. O. Małyszko

W chwili t1 układ dynamiczny znajduje się w punkcie X1. Jeśli w tym momencie nastąpi niewielkie zaburzenie, to układ znajdzie się w punkcie X11 (czyli będzie w niewielkiej odległości ε1 od układu niezaburzonego). Po pewnym czasie t układ niezaburzony znalazłby się w punkcie X2, natomiast układ zaburzony znajdzie się w punkcie X22. Wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym (potoku) definiuje zależność (1) (należy zaznaczyć, że wzór (1) można wyprowadzić w ścisły matematyczny sposób, natomiast przedstawiona interpretacja jest używana, aby pominąć to niezbyt łatwe matematyczne wyprowadzenie):

  (1)

Jeśli z biegiem czasu zaburzenie maleje (|ε2|< |ε1|), to zgodnie ze wzorem (1), wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera. Jeśli odległość między trajektorią zaburzoną a niezaburzoną się nie zmienia (|ε2|= |ε1|), to wykładnik jest równy zeru. Natomiast jeśli zaburzenie rośnie z biegiem czasu, to wykładnik jest dodatni.

Wynika z tego, że jeśli układ dynamiczny jest lekko zaburzony, to wykładnik Lapunowa opisuje prędkość, z jaką to zaburzenie zmienia się w czasie. Zgodnie z zależnością (1) wielkość zaburzenia po czasie t można opisać zależnością |ε2|≈ |ε1|eλt.

Jeśli wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera, to zaburzenie będzie malało do zera, czyli startując z dwóch początkowo różnych punktów układ dynamiczny po pewnym czasie osiągnie to samo rozwiązanie. W przeciwnym przypadku, gdy wykładnik jest większy od zera, to zaburzenie będzie rosło i startując z dwóch początkowo bliskich punktów trajektorie będą się coraz bardziej rozbiegać.

Dzięki takiej właściwości za pomocą wykładników Lapunowa można określić stabilność układu dynamicznego.

Zależność (1) opisuje wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym.

Podobnie definiuje się wykładnik dla odwzorowania jednowymiarowego (kaskady) (2):

(2)

Czytaj też: Podstawowe wiadomości o elektroenergetycznej podziemnej sieci dystrybucyjnej energetyki zawodowej >>>

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!

Artykuł pochodzi z: miesięcznika elektro.info 10/2016

Wybrane dla Ciebie


Inżynier w lesie - zobacz video! »

Inżynier w lesie Materiały stworzone przez inżynierów dla inżynierów. Testy produktów od kluczowych dostawców (...) chcę zobaczyć »


Jednoobwodowy licznik energii - jaki wybrać?»

Zobacz co nowego poznamy na targach Energetab 2019 »

Licznik energii jaki wybrać Energetab 2019 logo
Zasilacze awaryjne trzeciej generacji z bardzo wysoką sprawnością 96% w trybie On-Line oraz ze znakomitym współczynnikiem mocy 1(...) czytam więcej » ENERGETAB – największe w Polsce targi nowoczesnych urządzeń, aparatury i technologii dla przemysłu energetycznego, to miejsce jednych z najważniejszych spotkań czołowych przedstawicieli branży elektrotechnicznej w Polsce.(...) czytam dalej »

 


Specjalne ramki do specjalnych wnętrz »

Kamery termowizyjne Perfekcyjne dopełnienie nowoczesnego wnętrza.
Prosta, ponadczasowa forma, jakość wykonania, niezawodny system, to tylko niektóre (...)
czytam dalej »


Automatyka przemysłowa i sterowanie - na jakie produkty zwrócić uwagę »

Jak zmniejszyć swój rachunek za energię »

automatyka przemysłowa zmniejsz rachunki za prąd
Jak sztuczna inteligencja wspomoże pracę elektrowni i fabryk? Aż 63 proc. respondentów twierdzi, że sztuczna inteligencja pomoże zwalczyć (...) czytam więcej » Oszczędzaj na rachunkach za prąd w domu lub firmie. Wystarczy Po Prostu Energia (...) zobacz ile możesz oszczędzić »

 


Gdzie znajduje zastosowanie współczesna termowizja?

Kamery termowizyjne Zadbaj o bezpieczeństwo i uniknij awarii. Za pomocą kamery termowizyjnej możliwe jest bezdotykowe sprawdzenie instalacji elektrycznej przy pełnym obciążeniu. Dzięki temu można (...) czytam dalej »

 


Potrzebujesz pomocy w wyborze UPS-a? Sprawdź ten przewodnik »

Bezpanelowe pozyskiwanie energii słonecznej - jak to zrobić?

UPS zasilacze bezpanelowa energia słoneczna
Urządzenia elektroniczne, których używasz do codziennej komunikacji, rozrywki i zapewnienia rodzinie bezpieczeństwa, są narażone na uszkodzenia spowodowane nieoczekiwanymi przerwami w dostawach energii elektrycznej, (...) czytam więcej » Innowacje i technologia przeszły długą drogę. Rzeczywiście wkroczyliśmy w nową generację nowoczesnych udogodnień, które nie tylko sprawiają, że nasz styl życia jest bardziej luksusowy i komfortowy, ale... czytam dalej »

Szybki i łatwy sposób na budowę Twojego indywidualnego systemu wizyjnego»

zasilanie gwarantowane Badania przeprowadzone przez Computer Business Review wykazały, że od 2013 roku mamy do czynienia z dynamicznym wzrostem przenoszenia przez przedsiębiorców zasobów danych do tzw. chmury obliczeniowej (cloud computing). W związku z tym stale wzrastają wydatki przeznaczan ... czytam dalej »


Automatyka przemysłowa - zobacz najlepsze rozwiązania »

Kontenerowa stacja transformatorowa Minibox »

Czujniki i automatyka Rozdzielnice kontenerowe
Zarówno w sektorze energetyki tradycyjnej jak i odnawialnej, czujniki oraz automatyka muszą być odporne na oddziaływaniu warunków środowiskowych. Ekstremalne ... czytam więcej » Zasilane są najczęściej z sieci SN o napięciu znamionowym od 6 do 36 kV. Ze względu na budowę stacje mogą być wnętrzowe lub napowietrzne. Funkcją stacji transformatorowej SN/nn jest transformacja ... czytam dalej »

Jaką zastosować ochronę urządzeń elektrycznych i elektronicznych przed przepięciami »

ochrona przed przepięciami Każdy ogranicznik przepięć ma pewną określoną zdolność do przenoszenia przez siebie pewnej energii udaru. Jeśli po zadziałaniu ... czytam dalej »


Złącza silnoprądowe - czy silikon sobie poradzi?

Złącza silnopradowe Czy możemy zastosować elastyczne przewody silikonowe i czy są one odporne na uszkodzenie i wysokie temperatury? Przykładowo dla przekroju kabla 240 mm2 ... chcę obejrzeć »


Może Cię to zainteresuje ▼

Wyświetlacz cyfrowy - jaki wybrać?

Osprzęt elektroinstalacyjny dla elektryka »

wyświetlacze cyfrowe kable i przewody - jakie wybrać
Współpracujący z dowolnym nadajnikiem sygnału w standardzie 4-20 mA. Urządzenia nie wymagające dodatkowego zasilania. Do obszaru zastosowań ... czytam więcej » Zobacz jaki osprzęt wybrać i porównaj parametry... czytam dalej »


Transformatory oraz dławiki dostosowane do indywidualnych wymagań »

transformatory ei Mają zastosowanie w sieciach przesyłowych i rozdzielczych. Stosowane są do zasilania układów trakcyjnych w pojazdach szynowych, w instalacjach wykorzystujących napędy (...) czytam dalej »


Liczniki energii elektrycznej - poznaj nowe »

Switch zarządzalny – czy warto? Jaki wybrać?

Liczniki energii jakie wybrać Switche niezarządzalne
Wymagania stawiane licznikom energii elektrycznej zawarte są w normach oraz przepisach (...) czytam dalej » Switch zarządzalny daje możliwość nie tylko stworzenia siecilokalnej, ale daje wiele innicf możliwości. Między innymi pozwala także dostosować porty, a więc i parametry sieci do... czytam dalej »

Dodaj komentarz
Nie jesteś zalogowany - zaloguj się lub załóż konto. Dzięki temu uzysksz możliwość obserwowania swoich komentarzy oraz dostęp do treści i możliwości dostępnych tylko dla zarejestrowanych użytkowników naszego portalu... dowiedz się więcej »
7-8/2019

AKTUALNY NUMER:

elektro.info 7-8/2019
W miesięczniku m.in.:
  • - Obciążalność prądowa ciągła przewodów szynowych wielkoprądowych SN
  • - Instalacje elektryczne w osiedlowych budynkach wielorodzinnych
Zobacz szczegóły

Start programu „Mój Prąd”. Czy przyczyni się do zwiększenia rozwoju OZE w Polsce?

We wrześniu wystartuje nowy rządowy program „Mój Prąd”, dzięki któremu będzie można uzyskać dofinansowanie na domową instalację fotowoltaiczną. Z dotacji będą mogły skorzystać...

MITRA LED

Właściwe oświetlenie drogowo-parkowe pozwala znacznie zredukować koszty eksploatacji, będąc rozwiązaniem zarówno ekonomicznym, estetycznym, jak i ekologicznym. Lena Lighting S.A. oferuje...
Enkodery ETHERNET AFS/AFM60A

Enkodery ETHERNET AFS/AFM60A

Rynek systemów przemysłowych dynamicznie się rozwija, a standard Industrial Ethernet jest przyszłością systemów komunikacji. Wydajność standardu Fast Ethernet,...
Cantoni Motor S.A. Cantoni Motor S.A.
Grupa Cantoni została pionierem w produkcji silników elektrycznych już w XIX wieku i od tego czasu kontynuuje misję wdrażania...
Dom Wydawniczy MEDIUM Rzetelna Firma
Copyright @ 2004-2012 Grupa MEDIUM Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością Spółka komandytowa, nr KRS: 0000537655. Wszelkie prawa, w tym Autora, Wydawcy i Producenta bazy danych zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów zabronione. Korzystanie z serwisu i zamieszczonych w nim utworów i danych wyłącznie na zasadach określonych w Zasadach korzystania z serwisu.
realizacja i CMS: omnia.pl