Zastosowanie wykładników Lapunowa do badania stabilności sieci elektroenergetycznej

Application of Lyapunov exponents to study the stability of the power grid
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Artykuł przedstawia możliwość zastosowania wykładników Lapunowa jako kryterium stabilności systemu elektroenergetycznego.
Rys. Elektro.Info

Do najpoważniejszych awarii w pracy systemu SEE należy utrata stabilności. Zgodnie z zasadą, że „lepiej zapobiegać niż leczyć”, lepiej jest zapobiegać tego typu awariom niż naprawiać ich skutki. W tym celu konieczne jest wczesne zidentyfikowanie możliwości wystąpienia takiej awarii. Dlatego celem niniejszego artykułu jest zwrócenie uwagi na możliwość wykorzystania do analizy pracy SEE stosunkowo nowego narzędzia matematycznego, jakim są wykładniki Lapunowa.

 W analizowanym zagadnieniu istotne jest to, że w czasie normalnej pracy SEE wykładnik Lapunowa ma wartość ujemną, natomiast w punkcie utraty stabilności jego wartość przekracza zero. Oznacza to, że w miarę zbliżania się układu do punktu utraty stabilności wykładnik Lapunowa zbliża się do zera.

Tę właściwość można wykorzystać do wczesnego wykrywania groźby utraty stabilności przez SEE. W artykule przedstawiono to na przykładzie prostego modelu generator-sieć sztywna.

Definicja wykładników Lapunowa

Interpretację graficzną wykładnika Lapunowa (Lyapunov exponent) przedstawiono na rys. 1.

Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa; rys. O. Małyszko
Rys. 1. Graficzna interpretacja wykładnika Lapunowa; rys. O. Małyszko

W chwili t1 układ dynamiczny znajduje się w punkcie X1. Jeśli w tym momencie nastąpi niewielkie zaburzenie, to układ znajdzie się w punkcie X11 (czyli będzie w niewielkiej odległości ε1 od układu niezaburzonego). Po pewnym czasie t układ niezaburzony znalazłby się w punkcie X2, natomiast układ zaburzony znajdzie się w punkcie X22. Wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym (potoku) definiuje zależność (1) (należy zaznaczyć, że wzór (1) można wyprowadzić w ścisły matematyczny sposób, natomiast przedstawiona interpretacja jest używana, aby pominąć to niezbyt łatwe matematyczne wyprowadzenie):

  (1)

Jeśli z biegiem czasu zaburzenie maleje (|ε2|< |ε1|), to zgodnie ze wzorem (1), wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera. Jeśli odległość między trajektorią zaburzoną a niezaburzoną się nie zmienia (|ε2|= |ε1|), to wykładnik jest równy zeru. Natomiast jeśli zaburzenie rośnie z biegiem czasu, to wykładnik jest dodatni.

Wynika z tego, że jeśli układ dynamiczny jest lekko zaburzony, to wykładnik Lapunowa opisuje prędkość, z jaką to zaburzenie zmienia się w czasie. Zgodnie z zależnością (1) wielkość zaburzenia po czasie t można opisać zależnością |ε2|≈ |ε1|eλt.

Jeśli wykładnik Lapunowa jest mniejszy od zera, to zaburzenie będzie malało do zera, czyli startując z dwóch początkowo różnych punktów układ dynamiczny po pewnym czasie osiągnie to samo rozwiązanie. W przeciwnym przypadku, gdy wykładnik jest większy od zera, to zaburzenie będzie rosło i startując z dwóch początkowo bliskich punktów trajektorie będą się coraz bardziej rozbiegać.

Dzięki takiej właściwości za pomocą wykładników Lapunowa można określić stabilność układu dynamicznego.

Zależność (1) opisuje wykładnik Lapunowa dla funkcji z czasem ciągłym.

Podobnie definiuje się wykładnik dla odwzorowania jednowymiarowego (kaskady) (2):

(2)

Czytaj też: Podstawowe wiadomości o elektroenergetycznej podziemnej sieci dystrybucyjnej energetyki zawodowej >>>

Chcesz być na bieżąco? Zapisz się do naszego newslettera!

Artykuł pochodzi z: miesięcznika elektro.info 10/2016

Wybrane dla Ciebie


Gdzie znajduje zastosowanie współczesna termowizja?

Kamery termowizyjne Zadbaj o bezpieczeństwo i uniknij awarii. Za pomocą kamery termowizyjnej możliwe jest bezdotykowe sprawdzenie instalacji elektrycznej przy pełnym obciążeniu. Dzięki temu można (...) czytam dalej »


Urządzenia przeciwprzepięciowe (SPD) - jakie wybrać ?

urządzenia przeciwprzepięciowe spd Ochronniki przepięciowe odpowiednie do zastosowań w instalacjach 230 V lub 400 V, systemy jedno- lub trójfazowe, wymienny moduł warystora i zamknięty moduł iskiernika, wizualna i zdalna sygnalizacja stanu warystora oraz(...) czytam dalej »


Światło dzienne, nasz naturalny regulator - odwzorowanie opraw oświetleniowych »

Bezpanelowe pozyskiwanie energii słonecznej - jak to zrobić?

Ośiwetlenie - jakie wybrać? bezpanelowa energia słoneczna
Rodzaj oświetlenia ma również fundamentalny wpływ na nasz wzrok oraz bezpośrednio wpływa na nasze ciało, umysł i (...) czytam więcej » Innowacje i technologia przeszły długą drogę. Rzeczywiście wkroczyliśmy w nową generację nowoczesnych udogodnień, które nie tylko sprawiają, że nasz styl życia jest bardziej luksusowy i komfortowy, ale... czytam dalej »

Nowe rozdzielnice Practibox S - wysoka jakość i nagrodzony design w przystępnej cenie»

nowe rozdzielnice Rozdzielnice dedykowane są przede wszystkim dla budownictwa mieszkaniowego (prywatnego jak i deweloperskiego), hoteli i obiektów biurowych. Rozdzielnice otrzymały ... czytam dalej »


Wprawiają w ruch tysiące różnych pojazdów na świecie - znasz ich?

Rozdzielnice średniego napięcia (SN) - przegląd 2019

pojazdy elektryczne Medcom Rozdzielnice 2019 porównanie
Zmieniają sposób myślenia o energii elektryczne i nie tylko... czytam więcej » Rozdzielnice średniego napięcia (SN), tak jak i inne rozdzielnice energetyczne, budowane są na napięcia znamionowe w zakresie od 7,2 do 36 kV o wartościach 7,2; 12; ... czytam dalej »

Kamery termowizyjne w cenach promocyjnych - tylko do 30 czerwca! »

Promocje na kamery termowizyjne Przy pracach instalacyjnych, a także w przemyśle, kamera termowizyjna jest nieodzownym narzędziem pracy ... czytam dalej »


Może Cię to zainteresuje ▼

Jaki wybrać uniwersalny, programowalny wyświetlacz cyfrowy?

Kable i przewody - dobierz odpowiednie do swojego projektu »

Sterowniki programowalne kable i przewody - jakie wybrać
Współpracujący z dowolnym nadajnikiem sygnału w standardzie 4-20 mA. Urządzenie nie wymaga dodatkowego zasilania. Do obszaru zastosowań urządzenia wlicza się sterowanie oraz ... czytam więcej » Właściwie wykonana i dostosowana do konkretnych zagrożeń środowiskowych instalacja elektryczna powinna do minimum ograniczać zagrożenia... czytam dalej »


Ochrona przed przepięciami systemów alarmowych»

Wszyscy elektryczni producenci w jednym miesjcu - zobacz!

Ochrona przepięciowa systemów alarmowych Elektryczni producenci w jednym miejscu
Jak ochronić różnorodne elektroniczne systemy ochrony mienia przed skutkami przepięć(...) czytam dalej » Zobacz ponad 100,000 produktów elektromechanicznych w ofercie (...) czytam dalej »

Co jeszcze potrafią enkodery Ethernet?

UPS zasilacze Rynek systemów przemysłowych dynamicznie się rozwija, a standard Industrial Ethernet jest przyszłością systemów (...) czytam dalej »


Jak komunikować urządzenia w środowisku przemysłowym?

Ograniczniki przepięć, które wybrać?

Switche zarządzalne spd ograniczniki przepięć
Switche niezarządzalne to urządzenia, które mają za zadanie przekazywanie danych między urządzeniami w wymagającym środowisku przemysłowym. Ich zadaniem jest zapewnienie przede wszystkim stabilnej, jak również wydajnej komunikacji.(...) czytam dalej » Układy SPD typu 1 (ograniczniki przepięć typu 1) powinny być stosowane do ochrony instalacji elektrycznej oraz urządzeń przed zagrożeniami stwarzanymi(...) czytam dalej »

Dodaj komentarz
Nie jesteś zalogowany - zaloguj się lub załóż konto. Dzięki temu uzysksz możliwość obserwowania swoich komentarzy oraz dostęp do treści i możliwości dostępnych tylko dla zarejestrowanych użytkowników naszego portalu... dowiedz się więcej »
5/2019

AKTUALNY NUMER:

elektro.info 5/2019
W miesięczniku m.in.:
  • - Stacje ładowania pojazdów elektrycznych
  • - Oświetlenie boisk piłkarskich zgodnie z wymaganiami klas oświetleniowych
Zobacz szczegóły

Wakacyjna promocja prenumeraty „elektro.info”!

Już lada moment lato, czas urlopów i błogiego odpoczynku, ale... zanim to nastąpi mamy dla Was wyjątkową letnią promocję na zakup lub przedłużenie prenumeraty „elektro.info”!

Nowe czujniki w rodzinie NIPRESS 1

Rodzina czujników ciśnienia NIVELCO została znacząco powiększona i obecnie czujniki NIPRESS pokrywają zapotrzebowanie większości branż przemysłowych dzięki szerokiej gamie dostępnych...
Enkodery ETHERNET AFS/AFM60A

Enkodery ETHERNET AFS/AFM60A

Rynek systemów przemysłowych dynamicznie się rozwija, a standard Industrial Ethernet jest przyszłością systemów komunikacji. Wydajność standardu Fast Ethernet,...
Cantoni Motor S.A. Cantoni Motor S.A.
Grupa Cantoni została pionierem w produkcji silników elektrycznych już w XIX wieku i od tego czasu kontynuuje misję wdrażania...
Dom Wydawniczy MEDIUM Rzetelna Firma
Copyright @ 2004-2012 Grupa MEDIUM Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością Spółka komandytowa, nr KRS: 0000537655. Wszelkie prawa, w tym Autora, Wydawcy i Producenta bazy danych zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów zabronione. Korzystanie z serwisu i zamieszczonych w nim utworów i danych wyłącznie na zasadach określonych w Zasadach korzystania z serwisu.
realizacja i CMS: omnia.pl